[論文レビュー] Constructing subset partition graphs with strong adjacency and end-point count properties

Nicolai Hähnle|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2012

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Lovászの局所補題を用いた確率的構成法を提示し、単一性の性質を満たす任意の部分集合分割グラフ（SPG）を、強い隣接性および端点数の性質も満たす高次元のSPGに変換する。主な結果として、指数的長さの抽象的スパイナールを構成でき、従来の構成の概念的簡略化を実現し、Hirsch予想の反例探索を前進させる。

ABSTRACT

Kim defined a very general combinatorial abstraction of the diameter of polytopes called subset partition graphs to study how certain combinatorial properties of such graphs may be achieved in lower bound constructions. Using Lovász' Local Lemma, we give a general randomized construction for subset partition graphs satisfying strong adjacency and end-point count properties. This can be used as a building block to conceptually simplify the constructions given in [Kim11]. We also use our method to construct abstract spindles, an analogy to the spindles used by Santos to disprove the Hirsch conjecture, of exponential length which satisfy the adjacency and end-point count properties.

研究の動機と目的

• 多面体の直径挙動をモデル化するために不可欠な、強い隣接性および端点数の性質を満たす部分集合分割グラフ（SPG）を一般化して構成する方法を開発すること。
• 低次元のSPGに単一性の性質を満たすものから、構造的性質が向上した高次元のSPGに変換することで、高次元SPGの既存の組合せ的構成を簡略化すること。
• 強い隣接性および端点数の性質を満たす指数的長さの抽象的スパイナールを構成し、Hirsch予想の反例を新たに提示すること。
• 強い隣接性および端点数の性質と、実際に多面体をモデル化するために不可欠な次元削減性質との相互作用を解明すること。

提案手法

• 単一性の性質を満たす入力SPGに対して、各辺を r 個のセグメントに分割する確率的分割プロセスを適用し、記号集合を S' = S × [r] とする。
• 分割頂点にラベルを確率的に割り当てることで、新しいグラフにおける隣接頂点が少なくとも2つの要素で異なる集合に対応することを保証し、望ましくない高次元の共通部分集合を回避する。
• Lovászの局所補題を用いて、異なる辺上に存在する頂点のペアが共通部分集合のサイズが d−1 になる確率が正であることを示し、これにより端点数の性質が破綻する危険性を回避できる。
• 悪事象（conflicting events）の数を制限し、(k+1)pe < 1 の条件を用いて成功確率が正であることを保証し、十分な r = ⌈16eΔ⌉ の値が得られる。
• 得られるSPGは元のグラフの分割に同型であり、単一性の性質を保持する。各元の頂点 A は新しいグラフで A × [r] に写像される。
• 本手法を 2d 個の記号を持つパスに基づくSPGに適用し、d に関して指数的長さの抽象的スパイナールを構成し、強い隣接性および端点数の性質を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一性の性質を満たす任意のSPGを、強い隣接性および端点数の性質を満たすものに変換する一般化された確率的手法は可能か？
• RQ2 強い隣接性および端点数の性質を達成するために、必要な最小の次元上昇は何か？
• RQ3 本手法を用いて、強い隣接性および端点数の性質を満たす指数的長さの抽象的スパイナールを構成可能か？
• RQ4 強い隣接性および端点数の性質は、構成されたSPGにおいて次元削減性質とどのように相互作用するか？

主な発見

• Lovászの局所補題を用いた確率的構成法により、r ≥ ⌈16eΔ⌉ を満たす r 次元のSPGが存在し、強い隣接性、端点数、単一性の性質を満たすことが保証される。
• 本手法により、単一性の性質を満たす任意の d 次元SPGが、元のグラフの分割に同型である rd 次元SPGに変換可能である。
• 本手法により、d に関して指数的長さの抽象的スパイナールが構成され、強い隣接性および端点数の性質を満たす。これはKim（2011）の多項式的長さの構成を改善する。
• 得られるSPGは単一性の性質を保持し、各元の頂点 A が新しいグラフで A × [r] に写像される。
• 強い隣接性は、新しいグラフにおける隣接頂点が元のラベルで共通部分集合のサイズが d−1 になるように保証されることで維持される。
• 元のグラフにサイクルが含まれる場合、本手法は次元削減性質を保持しないことが判明し、多面体グラフをモデル化する上での主な制限である。