[論文レビュー] Constructing symmetric monoidal bicategories

Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 72

ひとこと要約

本稿では、すべての1-セルに対して同伴および双対同伴が存在するというファイブラシー条件を満たす対称的モノイダル二重圏から、対称的モノイダル2-圏を構成する体系的な手法を提示する。主な結果は、モノイダル二重圏がファイブラシーである場合、その基になる2-圏が自然なリフトプロセスを通じてモノイダル構造、braided構造、対称的モノイダル構造を引き継ぐことである。実務的には、検証が著しく簡素化される。

ABSTRACT

We present a method of constructing symmetric monoidal bicategories from symmetric monoidal double categories that satisfy a lifting condition. Such symmetric monoidal double categories frequently occur in nature, so the method is widely applicable, though not universally so.

研究の動機と目的

• 対称的モノイダル2-圏を構築する実用的な手法を提供すること。これは、その複雑な coherent 条件のため、通常は検証が困難である。
• 2-圏におけるモノイダル構造および対称的モノイダル構造の検証の課題に、より構造化された基になる二重圏を活用することで対処すること。
• 例えば豊かにプロファンクターとcobordism圏に現れる、暗黙のうちに使われてきた構成技法を形式化し、一般化すること。
• ファイブラシーなモノイダル二重圏からその基になる2-圏への関手的リフトプロセスを確立し、モノイダル構造、braided構造、対称的モノイダル構造を保存すること。
• この構成が、環、代数、加群など自然に現れる対称的モノイダル二重圏に広く適用可能であることを示すこと。

提案手法

• 弱い合成および標準的公理を満たす coherence 同型を備えた Cat 内の圏として、対称的モノイダル二重圏を定義する。
• すべての水平1-セルに対して同伴および双対同伴が存在することを条件としてファイブラシー条件を導入し、二重圏からその基になる2-圏への構造のリフトを保証する。
• D と同一の0-セルおよび1-セルを用い、同伴および双対同伴を用いた2-セルのリフトにより水平合成を定義することで、基になる2-圏 H(D) を構成する。
• H(D) における結合則、単位則、coherence 同型が、D のそれらを同伴および双対同伴構造を通じて誘導することを証明し、2-圏の公理が満たされることを保証する。
• D から H(D) への braiding および symmetry 同型のリフトを用いて、braided および symmetric monoidal 構造への拡張を実行し、同伴の一意性を用いて coherence 公理を検証する。
• H(D) におけるすべての coherence 図式が、D0（0-セルの圏）における図式と一意的な θ-同型を通じて同型であることを用い、coherence が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 より構造化された二重圏から、どのように体系的に対称的モノイダル2-圏を構成できるか？
• RQ2 対称的モノイダル二重圏が、その基になる2-圏に対称的モノイダル構造を引き継ぐために必要な条件は何か？
• RQ3 二重圏から2-圏へのモノイダル構造のリフトが、どのような意味で関手的かつ coherent であるか？
• RQ4 なぜファイブラシー条件、特に同伴および双対同伴の存在が、このリフト構成において必要かつ十分なのか？
• RQ5 この手法は、高次元の (n×k)-圏およびその基になる (n+k)-圏へ、どの程度一般化可能か？

主な発見

• D がファイブラシーなモノイダル二重圏であれば、その基になる2-圏 H(D) はモノイダル2-圏となり、モノイダル構造は同伴および双対同伴を用いたリフトによって引き継がれる。
• D が braided であれば、誘導される2-圏 H(D) は braided monoidal 構造を引き継ぎ、Theorem 4.6 を用いて D の braiding からのリフトによって braiding が生じる。
• D が symmetric であれば、H(D) は対称的モノイダル2-圏となり、H(D) の symmetry 同型は、A⊗B 上の恒等写像の同伴間の θ-同型として構成される。
• H(D) におけるモノイダル2-圏構造の coherence 公理は、H(D) におけるすべての関連する pasting 図式が、一意的な θ-同型を通じて D0 における図式と同型であるため、満たされる。
• この構成は高次対称性を保存する：H(D) における syllepsis および symmetry 公理は、D における braiding の自己逆性および同伴の一意性から導かれる。
• この手法は、可換環、代数、加群の二重圏や conformal nets など、自然に現れる例に広く適用可能であり、すべての例においてリフトにより対称的モノイダル tricategory が得られる。