[論文レビュー] Constructing symmetric monoidal bicategories functorially

Linde Wester Hansen, Michael Shulman|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 34被引用数 32

ひとこと要約

本論文は、モノイダル、ブレイド、および対称構造をモノイダル double category から基礎となる bicategories へファンクトリアルにリフトする方法を提供し、モノイダル bicategories、関手、および変換の系統的な構成を実現する。

ABSTRACT

We present a method of constructing monoidal, braided monoidal, and symmetric monoidal bicategories from corresponding types of monoidal double categories that satisfy a lifting condition. Many important monoidal bicategories arise naturally in this way, and applying our general method is much easier than explicitly verifying the coherence laws of a monoidal bicategory for each example. Abstracting from earlier work in this direction, we express the construction as a functor between locally cubical bicategories that preserves monoid objects; this ensures that it also preserves monoidal functors, transformations, adjunctions, and so on. Examples include the monoidal bicategories of algebras and bimodules, categories and profunctors, sets and spans, open Markov processes, parametrized spectra, and various functors relating them.

研究の動機と目的

• 対称モノイダル bicategories の重要性をさまざまな文脈で動機づけ、整合性検証の容易さを強調する。
• double category から基礎となる bicategories へモノイダル構造を転送する一般的なリフティング法を導入する。
• モノイダル構造と射を保存するファンクトリアルな枠組みを提供し、関手や変換も含む。
• 代数とビモジュールを伴う例、プロファンctors を含むカテゴリ、スパンなど多様な例を通じて適用性を示す。
• Companions/Conjoints がリフティングを可能にし、得られる bicategories の整合性を担保する説明。

提案手法

• 対称モノイダル double category とそれらの lax/colax/strong モノイダル functors を定義し、扱う。
• 下位の bicategory で tight な 1セルを loose なものへ持ち上げるための companions と conjoints を導入する。
• 適切な条件の下で、基礎となる bicategory L(D) がモノイダル/ブレイデッド/対称モノイダル bicategory になることを証明する。
• モノイダル double category からモノイダル bicategories への functor L を構築し、モノイダル構造と射を保存する。
• L が locally cubical bicategories の間の functor へ拡張され、モノイダル対象とセルを保存することを確立する。
• 実際の構築を示すために複数の例で実演する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 double category 上のモノイダル・ブレイデッド・対称構造を、基礎となる bicategories へファンクトリアルに転送するにはどうすればよいか？
• RQ2 L(D) がモノイダル（またはブレイド/対称）bicategory 構造を継承するために、どのリフティング条件と整合性データが必要か？
• RQ3 リフティングを、モノイダルファンクター、変換、随伴を含む形で拡張し、組成を保存することはできるか？
• RQ4 具体的な設定（例：代数とビモジュール、カテゴリとプロファンctors、スパン、開放マルコフ過程、パラメータ化スペクトル）でこの方法が新しいモノイダル bicategories を生み出すか？
• RQ5 Companions と Conjoints はファンクトリアルリフティングをどのように促進し、整合性を維持するのか？

主な発見

• 一般定理: D が loosely strong companions を伴うモノイダル double category である場合、L(D) はモノイダル bicategory となる（D がブレイド/対称であれば L(D) も同様）。
• 構成 L は、モノイダル double category と bicategory の locally cubical bicategories の間の functor に拡張され、モノイダル対象と射を保存する。
• この枠組みは、モノイダル bicategories のほか、モノイダルファンクター、変換、合成を、一貫したファンクトリアルな方法で提供する。
• この方法は、代数とビモジュール、カテゴリとプロファンクト、スパン、さらには open Markov processes および parametrized spectra など、さまざまな例に適用できる。
• 整合性とリフティングは companions/conjoints により扱われ、tight arrow を loosed arrow へ一意に（同型を除いて）持ち上げることを提供し、モノイダル構造を L(D) に渡すことを可能にする。
• このアプローチは lax/colax/strong モノイダルファンクターと変換を収容でき、出力はリフティングされた構造の適切な厳密さを保証する。