[論文レビュー] Constructing the Primitive Roots of Prime Powers

Nathan Jolly|ArXiv.org|Sep 12, 2008

History and Theory of Mathematics参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$p$ を奇素数とし、$k \geq 2$ とするとき、$p^k$ の原始根から、$p^{k+1}$ のすべての原始根を、加法と乗法のみを用いて構成的に生成する方法を提示する。主な結果は、$p^k$ の各原始根 $g$ に対して、$0 \leq t \leq p-1$ の範囲で $g + tp^k$ の $p$ 値がすべて $p^{k+1}$ の原始根であり、重複なくすべての $\varphi(\varphi(p^{k+1}))$ 個の原始根を生成することを示している。

ABSTRACT

We use only addition and multiplication to construct the primitive roots of $p^{k+1}$ from the primitive roots of $p^{k}$, where $p$ is an odd prime and $k$ is at least 2.

研究の動機と目的

• 指数計算を避けて、加法と乗法のみを用いて、$p^{k+1}$ のすべての原始根を明示的かつ初等的に構成すること。
• Niven らの $p^2$ に対する構成を、$k \geq 2$ の場合の高次の素数べき $p^{k+1}$ に拡張すること。
• すべての $\varphi(\varphi(p^{k+1}))$ 個の $p^{k+1}$ の原始根が、$p^k$ の原始根を線形的に上げた形 $g + tp^k$ を用いて生成可能であることを示すこと。
• この構成によって、正確に $p \cdot \varphi(\varphi(p^k))$ 個の異なる原始根が得られ、既知の数え上げ $\varphi(\varphi(p^{k+1}))$ と一致することを確立すること。

提案手法

• $p^k$ の各原始根 $g$ を、$0 \leq t \leq p-1$ の範囲で $p$ 個の候補 $g + tp^k$ として $p^{k+1}$ の下で上げる。
• Henselの補題を用いて、$x^{\varphi(p^k)} \equiv 1 \pmod{p^{k+1}}$ の解の持ち上げの性質を分析し、$k \geq 2$ のとき $g$ が解に持ち上がらないことを示す。
• 導関数の条件 $f'(g) \equiv 0 \pmod{p}$ を用いて、$\mathrm{ord}_{p^{k+1}}(g + tp^k) = \varphi(p^{k+1})$ であることを証明し、順序が $\varphi(p^k)$ になり得ないことを示す。
• 構成された値 $g + tp^k$ がすべて $p^{k+1}$ の下で互いに異なること、かつ重複なくすべての原始根をカバーすることを検証する。
• 構成された根の総数 $p \cdot \varphi(\varphi(p^k))$ が $\varphi(\varphi(p^{k+1}))$ と一致することを確認し、完全性を保証する。
• $g$ が $p^k$ の原始根であり $k \geq 2$ であることから、$g^{\varphi(p^k)} \not\equiv 1 \pmod{p^{k+1}}$ であることを用いて、順序が $\varphi(p^k)$ になるのを排除する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $p^{k+1}$ の原始根を、指数計算を避け、加法と乗法のみを用いて $p^k$ の原始根から構成可能か？
• RQ2 $k \geq 2$ のとき、$p^k$ の各原始根 $g$ は、$g + tp^k$ の形で $p$ 個の異なる $p^{k+1}$ の原始根を生成するか？
• RQ3 なぜ持ち上げ $g + tp^k$ は、$p^{k+1}$ の下で順序 $\varphi(p^k)$ を持つ要素を生成しないのか？ これは原始根性を保証するためにどのように寄与するか？
• RQ4 このような構成された根の数は、既知の数え上げ $\varphi(\varphi(p^{k+1}))$ と一致するか？
• RQ5 条件 $k \geq 2$ が、特に Henselの補題との関係において、この構成の妥当性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• $k \geq 2$ のとき、$p^k$ の各原始根 $g$ に対して、$0 \leq t \leq p-1$ の範囲で $g + tp^k$ の $p$ 値がすべて $p^{k+1}$ の原始根であり、それ以外の値は生成されない。
• この構成により、正確に $p \cdot \varphi(\varphi(p^k))$ 個の異なる $p^{k+1}$ の原始根が得られ、既知の数え上げ $\varphi(\varphi(p^{k+1}))$ と一致する。
• $g + tp^k$ の $p^{k+1}$ における順序が $\varphi(p^k)$ にならないことは、原始根性を保証するために不可欠であり、これは Henselの補題と導関数 $f'(g) \equiv 0 \pmod{p}$ の消滅により証明される。
• この構成は $k=1$ のとき失敗する。これは導関数の条件が持ち上げを遮断するのに十分でないためであり、$k \geq 2$ の要件が正当化される。
• この方法は完全に構成的かつ初等的である。指数計算を避け、加法と乗法のみを用いるため、手計算にも適している。
• この結果は、Niven らの $p^2$ に対する構成を、$k \geq 2$ のすべての $p^{k+1}$ に一般化し、一様な持ち上げ機構を提供する。