[論文レビュー] Constructing unextendible product bases from the old ones

Yanling Wang, Mao-Sheng Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2017

Quantum Mechanics and Applications参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、直交する部分系から既知のUPBを組み合わせることで、二粒子および多粒子量子系における非拡張可能な積状態基底（UPB）を構築する新規手法を提示する。$Χ^{m} \otimes \u03a7^{n_1}$ および $Χ^{m} \otimes \u03a7^{n_2}$ におけるUPBの和集合が、$Χ^{m} \otimes \u03a7^{n_1+n_2}$ におけるUPBを形成することを示し、これにより $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$ においては4から $n^2/2$ までの欠落状態数を持つUPBを構築可能となる。また $m \geq 4, n \geq 10$ の場合、$\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$ では4から $(m-1)(n-8)$ までの欠落状態数を持つUPBが得られ、多粒子系への拡張も可能である。

ABSTRACT

We studied the construction problem of the unextendible product basis (UPB). We mainly give a method to construct a UPB of a quantum system through the UPBs of its subsystem. Using this method and the UPBs which are known for us, we construct different kinds of UPBs in general bipartite quantum system. Then we use these UPBs to construct a family of UPBs in multipartite quantum system. The UPBs can be used to construct the bound entangled states with different ranks.

研究の動機と目的

• 量子系における既存のUPBから新しい非拡張可能な積状態基底（UPB）を体系的に構築する一般的手法を開発すること。
• 既存のUPB構成法を、制御可能な欠落状態数を持つ高次元二粒子系へと拡張すること。
• 二粒子UPBを構成要素として用いることで、多粒子量子系への構成法を一般化すること。
• これらの新しいUPB構造を通じて、さまざまなランクを持つ束縛もつれ状態を生成可能とすること。

提案手法

• 直交する二つの部分系 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_1}$ および $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_2}$ からのUPBを組み合わせ、$\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n_1+n_2}$ におけるUPBを構成する。
• 部分系が直交しており、かつ元の集合が非拡張可能である限り、互いに不重複な部分系からのUPBの和集合が、依然としてUPBのままであることを証明する。
• 再帰的アプローチを用いる：目標とする欠落状態数 $m$ に対して、$m = qL + r$ と分解し、$q$ 個の $L$ 個の欠落状態を持つUPBと、$r$ 個の欠落状態を持つ1つのUPBを組み合わせる。
• Lemma 3 を適用して、低次元系におけるUPBのテンソル積が、高次元系でも非拡張可能であることを保証する。
• 多粒子系への一般化には、複数の部分系にわたってこの構成を繰り返し適用する。
• $N$-粒子系において4から $L$ までの欠落状態数を持つUPBの存在を仮定し、$N+1$-粒子系においては4から $d_{N+1}L$ までの欠落状態数を持つUPBを生成可能とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな量子系内の直交部分系における既存UPBから、体系的な方法で新しいUPBを構築可能か？
• RQ2 本手法を用いて $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$ における欠落状態数の範囲はどの程度か？
• RQ3 本手法は、一般の二粒子系 $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$（$m \geq 4, n \geq 10$）において、連続的な欠落状態数の範囲をカバー可能か？
• RQ4 二粒子系におけるUPBは、多粒子系におけるUPBの生成にどのように利用可能か？
• RQ5 高次元系において、最小UPBサイズと構築されたサイズの間のギャップを埋めることは可能か？

主な発見

• $\u03a7^{n} \otimes \u03a7^{n}$ において、本手法は4から $n^2/2$ までの欠落状態数を持つUPBを構築可能である。
• $\u03a7^{m} \otimes \u03a7^{n}$（$m \geq 4$ かつ $n \geq 10$）において、4から $(m-1)(n-8)$ までの欠落状態数を持つUPBが生成可能である。
• 構成法により、部分系間の直交性と非拡張可能性が保たれることで、結果として得られる集合が非拡張可能な積状態基底のまま保たれることを保証する。
• $N$-粒子系において4から $L$ までの欠落状態数を持つUPBが存在する場合、$N+1$-粒子系においては4から $d_{N+1}L$ までの欠落状態数を持つUPBを生成可能となる。
• 結果として、構築されたUPBを活用することで、さまざまなランクを持つ束縛もつれ状態を体系的に生成可能となる。
• 本稿では、最小のUPBサイズと構築されたサイズとの間にギャップが存在することを特定し、中間の欠落状態数を持つUPBをより効果的に構築する余地が残っていることを示唆している。