[論文レビュー] Construction and analysis of sticky reflected diffusions

Martin Grothaus, Robert Voßhall|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Dirichlet形式の技法を用いて、ℝᵈ内の有界領域上にスティッキーな反射運動を構成する。この過程は境界Γに正の時間を費やし、表面SDEに従って境界上を移動することができる。主な貢献は、Wentzell型境界条件を伴うStratonovich SDEの弱解としてこの過程が証明され、境界および係数の弱い正則性仮定のもとで、そのエルゴード性および𝒮ᴸᵖ-strong Feller性が確立されることである。

ABSTRACT

We give a Dirichlet form approach for the construction of distorted Brownian motion in a bounded domain $Ω$ of $\mathbb{R}^d$, $d \geq 1$, with boundary $Γ$, where the behavior at the boundary is sticky. The construction covers the case of a static boundary behavior as well as the case of a diffusion on the hypersurface $Γ$ (for $d \geq 2)$. More precisely, we consider the state space $\overlineΩ=Ω\stackrel{.}{\cup} Γ$, the process is a diffusion process inside $Ω$, the occupation time of the process on the boundary $Γ$ is positive and the process may diffuse on $Γ$ as long as it sticks on the boundary. The problem is formulated in an $L^2$-setting and the construction is formulated under weak assumptions on the coefficients and $Γ$. In order to analyze the process we assume a $C^2$-boundary and some weak differentiability conditions. In this case, we deduce that the process is also a solution to a given SDE for quasi every starting point in $\overlineΩ$ with respect to the underyling Dirichlet form. Under the addtional condition that $\{ \varrho =0 \}$ is of capacity zero, we prove ergodicity of the constructed process and consequently, we verify that the boundary behavior is indeed sticky. Moreover, we show ($\mathcal{L}^p$-)strong Feller properties which allow to characterize the constructed process even for every starting point in $\overlineΩ \backslash \{ \varrho=0\}$.

研究の動機と目的

• 有界領域Ω ⊂ ℝᵈの閉包上に、境界∂Ω = Γにおけるスティッキー境界挙動を示す拡散過程を構成すること。
• 歪みのあるブラウン運動の枠組みを、δ=1のとき境界上での拡散を含む非自明な境界ダイナミクスを含めるように拡張すること。
• 過程を、Wentzell型境界条件を伴うStratonovich SDEの弱解として、厳密に確立すること。
• 集合{ϱ=0}が零容量であるという条件下で、過程のエルゴード性を証明し、境界挙動のスティッキー性（長時間にわたり境界に滞在する）を確認すること。
• 𝒮ᴸᵖ-strong Feller性を確立し、すべての初期点Ω̅∖{ϱ=0}に対して過程のパスワイズ特徴付けを可能にすること。

提案手法

• 境界Γに質量を割り当てる測度μ = ϱ(λ + σ)を用いたL²(Ω̅; μ)上でのDirichlet形式の手法を用いる。
• 係数α, βおよび境界Γに対して弱い仮定のもとで、L²(Ω̅; μ)上にDirichlet形式(ℰ, D(ℰ))を構成する。
• C²境界条件および弱微分可能性の仮定を課し、正則性を導出し、関連するマルティンガル問題を解く。
• 生成作用素とStratonovich SDEとの同定により、SDE表現を導出する。ここには、内部のドリフト、境界上のドリフト、および法線反射項が含まれる。
• [BGS13]の結果を適用し、局所連続性および領域内の点を分離する列の確認により、𝒮ᴸᵖ-strong Feller性を確立する。
• 確率的時間変換を用いて、スティッキー過程を反射拡散と関連づけ、強い解の非存在を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数および境界の弱い正則性仮定のもとで、Dirichlet形式を用いてスティッキーな反射運動と境界上での拡散を厳密に構成できるか？
• RQ2 構成された過程は、Ω̅内の準至るところの初期点に対して、Wentzell型境界条件を伴うStratonovich SDEの弱解であるか？
• RQ3 集合{ϱ=0}が零容量であるという条件下で、過程は真のスティッキー挙動（境界上での正の長期的滞在時間）を示すか？
• RQ4 強Fellerまたは𝒮ᴸᵖ-strong Fellerなどの正則性特性は、過程の遷移半群に対してどのような性質を示すか？
• RQ5 境界が至るところ滑らかでない場合でも、Ω̅∖{ϱ=0}内のすべての初期点に対して、過程をパスワイズに特徴付けられるか？

主な発見

• 構成された過程は、基盤となるDirichlet形式に関して、Ω̅内の準至るところの初期点に対して、Stratonovich SDE (1.1) の弱解である。
• 集合{ϱ=0}が零容量であるという仮定のもとで、過程はエルゴード的であり、境界Γ上での正の長期的滞在時間によって、境界挙動のスティッキー性が確認される。
• 遷移半群(pₜ)ₜ>0は𝒮ᴸᵖ-strong Fellerであり、pₜがLᵖ(Ω̅; μ)をC(Ω̅)に写像し、特に有界可測関数を連続関数に写像することを意味する。
• 過程はΩ̅₁ = Ω̅ ∖ {ϱ=0}上で強Feller的であり、この集合内のすべての初期点に対してパスワイズ特徴付けが可能である。
• L²(Ω̅; μ)上でのDirichlet形式(ℰ, D(ℰ))は、過程と関連しており、[FOT11]における絶対連続性条件を満たしており、エルゴード性の結果がL²(Ω̅; μ)設定へ拡張されることを保証する。
• 強解が存在しないことと整合的であり、時間スケーリングされた反射拡散の極限として知られているスティッキー・ブラウン運動と一致するため、構成は最適である。