[論文レビュー] Construction and application of algebraic dual polynomial representations for finite element methods

Varun Jain, Yi Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有限要素法における代数的双対多項式基底を体系的に構築する手法を提案し、ディリクレ問題およびノイマン問題に対する高精度な混合型式を可能にする。有限要素近似が任意のグリッド上で恒等的に $φ^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$ を満たすことを示し、制約およびラグランジュ乗数の離散化がグリッドのサイズ、形状、多項式次数に依存しないことを保証する。

ABSTRACT

Given a polynomial basis $\Psi_i$ which spans the polynomial vector space $\mathcal{P}$, this paper addresses the construction and use of the algebraic dual space $\mathcal{P}'$ and its canonical basis. Differentiation of dual variables will be discussed. The method will be applied to a Dirichlet and Neumann problem presented in \cite{CarstensenDemkowiczGopalakrishnan} and it is shown that the finite dimensional approximations satisfy $\phi^h = \mbox{div}\, \mathbf{q}^h$ on any grid. The dual method is also applied to a constrained minimization problem, which leads to a mixed finite element formulation. The discretization of the constraint and the Lagrange multiplier will be independent of the grid size, grid shape and the polynomial degree of the basis functions.

研究の動機と目的

• 有限要素法における与えられた多項式基底 $\Psi_i$ に対応する代数的双対空間 $\mathcal{P}'$ の体系的構成を目的とする。
• 任意のメッシュ上で離散解が $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$ を満たすように保証することにより、正確な混合有限要素型式を可能とする。
• 制約およびラグランジュ乗数の離散化をグリッドの幾何的形状や多項式次数から分離し、より高いロバスト性を実現する。
• 双対変数の微分を扱うフレームワークを提供し、混合法における高次精度を支援する。

提案手法

• 多項式空間 $\mathcal{P}$ に展開される基底 $\Psi_i$ に対して、双対基底 $\mathcal{P}'$ を構築し、双直交性を満たす。
• 双対基底を、ディリクレおよびノイマン境界条件を伴う問題に特に適用する混合有限要素型式に応用する。
• 双対変数の微分規則を導出し、弱形式における一貫性を維持する。
• 双対空間を用いた制約付き最小化問題を実装し、制約離散化が独立する混合型式を導出する。
• 制約の離散化および関連するラグランジュ乗数の離散化が、グリッドのサイズや形状の変更に対して不変であることを保証する。
• 得られた有限要素近似が、メッシュ構造にかかわらず任意のグリッド上で恒等的に $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限要素法における与えられた多項式基底 $\Psi_i$ に対して、代数的双対多項式基底を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 双対基底の定式化により、非構造的グリッド上でも $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$ が正確に成立するか？
• RQ3 制約およびラグランジュ乗数の離散化を、グリッドのサイズや形状からどれほど分離できるか？
• RQ4 混合有限要素スキームにおいて、双対変数の微分を一貫して定義し適用する方法は何か？
• RQ5 混合有限要素法における制約付き最小化問題に、双対多項式基底を用いることで生じる影響は何か？

主な発見

• 構築された代数的双対基底により、有限要素解が任意のグリッド上で、メッシュ構造にかかわらず恒等的に $\phi^h = \text{div}\, \mathbf{q}^h$ を満たすことが保証される。
• 本手法により、制約およびラグランジュ乗数の離散化がグリッドのサイズ、形状、多項式次数に依存しない不変性を達成する。
• 双対変数の微分が一貫して定義され、変分形式に統合され、精度が保持される。
• 双対基底から導かれた混合有限要素型式は、与えられた条件下で最適収束性を維持する。
• 同一の双対フレームワークを用いることで、ディリクレ問題およびノイマン問題の両方に対して、強固で一貫性のある混合型式が実現可能である。
• 制約付き最小化問題に対して、安定的かつ独立した制約離散化を実現するフレームワークを提供し、数値的信頼性を向上させる。