[論文レビュー] Construction and classification of diffeomorphism-invariant non-commutative Seiberg--Witten gravities

S. Mârculescu, F. Ruiz Ruiz|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2008

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、SO(1,3)ゲージ対称性と、共変的に定数な変形パラメータ $ heta^{ u}(x)$ を持つ非可換重力理論の族を、Seiberg-Witten 写像を用いて微分同相変換不変に構成する。ノーマル座標におけるビアインポストゥレートを課し、宇宙定数を含めることで、古典的作用は $ heta^{ u}$ の微分同相変換不変な級数として得られ、2次までの明示的寄与から、4次元計量が2つの2次元成分への分解が可能なものに限られることが示され、変形された出現重力のクラスが得られる。

ABSTRACT

A family of diffeomorphism-invariant Seiberg--Witten deformations of gravity is constructed. In a first step Seiberg--Witten maps for an SO(1,3) gauge symmetry are obtained for constant deformation parameters. This includes maps for the vierbein, the spin connection and the Einstein--Hilbert Lagrangian. In a second step the vierbein postulate is imposed in normal coordinates and the deformation parameters are identified with the components $ heta^{\mu u}(x)$ of a covariantly constant bivector. This procedure gives for the classical action a power series in the bivector components which by construction is diffeomorphism-invariant. Explicit contributions up to second order are obtained. For completeness a cosmological constant term is included in the analysis. Covariant constancy of $ heta^{\mu u}(x) $, together with the field equations, imply that, up to second order, only four-dimensional metrics which are direct sums of two two-dimensional metrics are admissible, the two-dimensional curvatures being expressed in terms of $ heta^{\mu u}$. These four-dimensional metrics can be viewed as a family of deformed emergent gravities.

研究の動機と目的

• SO(1,3)ゲージ対称性に対して Seiberg-Witten 写像を用いて微分同相変換不変な重力の変形を構成すること。
• 定数の変形パラメータを時空依存の共変的に定数なバイベクトル場 $\theta^{\nu}(x)$ に拡張すること。
• 得られた作用が微分同相変換に対して不変であり、かつアインシュタイン＝ヒルベルトラグランジアンと宇宙定数項を含むように保証すること。
• これらの変形の下で、場の運動方程式から生じる許容される時空幾何学を特定すること、特に $ heta^{\nu}$ の2次までの展開において。

提案手法

• 定数の変形パラメータを伴う SO(1,3)ゲージ対称性の下で、ビアイン、スピン接続、およびアインシュタイン＝ヒルベルトラグランジアンの Seiberg-Witten 写像を導出する。
• ノーマル座標におけるビアインポストゥレートを課し、スピン接続とビアインの関係を確立することで、リーマン幾何学と整合性を保つ。
• 変形パラメータ $\theta^{\nu}$ を共変的に定数なバイベクトル場 $\theta^{\nu}(x)$ の成分と同一視し、接続の共変定数性と整合性を保証する。
• 作用を $\theta^{\nu}(x)$ の級数として構成し、微分同相変換不変性を構成上保証する。
• 一般性と標準的重力拡張との整合性を保つために、作用に宇宙定数項を含める。
• 場の運動方程式と $\theta^{\nu}$ の共変定数性を用いて、$ heta^{\nu}$ の2次までの展開において許容される時空計量の形を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(1,3)ゲージ対称性に対して、Seiberg-Witten 写像をどのように一般化することで、微分同相変換不変な非可換重力理論を構成できるか？
• RQ2 変形パラメータ $\theta^{\nu}(x)$ が変形作用の微分同相変換不変性を保つために満たすべき条件は何か？
• RQ3 $ heta^{\nu}(x)$ が共変的に定数であり、作用が $ heta^{\nu}$ の2次まで展開されたとき、場の運動方程式と整合する時空幾何学はどのようなものか？
• RQ4 宇宙定数の導入が、変形された重力作用の構造とその解にどのように影響するか？
• RQ5 得られた変形重力理論は、低次元の重力成分から出現するものと解釈できるか？

主な発見

• 構築された作用は明示的に微分同相変換不変であり、共変的に定数なバイベクトル場の成分 $\theta^{\nu}(x)$ の級数として表現される。
• $ heta^{\nu}$ の2次までの展開において、場の運動方程式は時空計量が2つの2次元計量の直和に制限されることを示している。
• 各2次元成分の曲率は、バイベクトル成分 $\theta^{\nu}$ によって完全に決定され、幾何的制約が確立される。
• 宇宙定数は作用に一貫して含まれており、変形理論内でもその役割が保たれている。
• 得られる4次元計量のクラスは、非可換性がバイベクトル $\theta^{\nu}(x)$ に符号化された、変形された出現重力の族を表している。
• この手続きにより、ビアイン、スピン接続、およびアインシュタイン＝ヒルベルトラグランジアンの Seiberg-Witten 写像が、時空依存の共変的に定数な $\theta^{\nu}(x)$ に一貫して拡張されていることが保証される。