[論文レビュー] Construction and Count of Boolean Functions of an Odd Number of Variables with Maximum Algebraic Immunity

Na Li, Wen‐Feng Qi|ArXiv.org|May 30, 2006

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、奇数の $ n $ 個の変数をもつブール関数の最大代数的免疫をもつすべての関数を構成的に生成する手法を提示する。この問題は、構造的な $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 行列における正則部分行列の特定に帰着される。本稿では、そのような関数の数が $ 2^{2^{n-1}} $ を超過することを証明し、それらの豊富さを確立するとともに、このクラスの完全な特徴付けを提供する。

ABSTRACT

Algebraic immunity has been proposed as an important property of Boolean functions. To resist algebraic attack, a Boolean function should possess high algebraic immunity. It is well known now that the algebraic immunity of an $n$-variable Boolean function is upper bounded by $\left\lceil {\frac{n}{2}} ight ceil $. In this paper, for an odd integer $n$, we present a construction method which can efficiently generate a Boolean function of $n$ variables with maximum algebraic immunity, and we also show that any such function can be generated by this method. Moreover, the number of such Boolean functions is greater than $2^{2^{n-1}}$.

研究の動機と目的

• 奇数の $ n $ に対して、最大代数的免疫をもつ $ n $ 変数ブール関数の完全かつ効率的な構成法を開発すること。
• それらのブール関数の正確な数を特定し、それまでの文献におけるその数に関するギャップを解消すること。
• 最大代数的免疫をもつすべての関数が、提案された手法によって生成可能であることを示し、完全性を確立すること。
• これらの関数の体系的生成と列挙を可能にするフレームワークを提供することにより、暗号設計に有用である。

提案手法

• 本手法は、最大代数的免疫関数の特定問題を、基本関数 $ G_n $ から導出される $ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 行列 $ W(G_n) $ 内の $ k \times k $ 正則部分行列の特定問題に還元する。
• ブール関数の代数的正規形（ANF）と真理値表表現を用い、$ \left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil - 1 $ 以下の次数の単項式に対応するベクトル $ v(X) $ を定義する。
• 構成法では、真理値表から $ k $ 個のオンポイントと $ k $ 個のオフポイントを選択し、$ W(G_n) $ 内の選択された列ベクトルの線形独立性を保証するためにガウスの消去法を用いる。
• 正則部分行列の条件に基づき、$ G_n $ の出力を $ k $ 個のオンポイントおよび $ k $ 個のオフポイントで反転させることで、新たな関数 $ f_{(i_1,\ldots,i_k; j_1,\ldots,j_k)} $ を定義する。
• $ f $ と $ f \oplus 1 $ の双対性を活用し、重複を避けるために $ k $ の範囲を $ 1 \leq k \leq 2^{n-2} $ に制限する。
• そのような関数の数が、$ W(G_n) $ 内の $ k \times k $ 正則部分行列の数に等しいことが示され、これは $ 2^{2^{n-1}} $ を超過することを証明している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の $ n $ に対して、すべての $ n $ 変数ブール関数の最大代数的免疫関数を体系的かつ一貫して構成する方法は何か？
• RQ2 そのような関数の正確な数は何か？ そして、$ n $ と共にどのように増加するか？
• RQ3 最大代数的免疫をもつすべてのブール関数が、一意の統一された構成法によって生成可能か？
• RQ4 真理値表および関連行列 $ W(G_n) $ のどのような構造的性質が最大代数的免疫を決定づけるか？

主な発見

• 奇数の $ n $ に対して、最大代数的免疫をもつ $ n $ 変数ブール関数の数は $ 2^{2^{n-1}} $ を超過しており、その多様性が示されている。
• 本構成法は完全である：最大代数的免疫をもつすべての $ n $ 変数ブール関数が、提案されたアルゴリズムによって生成可能である。
• 本手法は、$ 2^{n-1} \times 2^{n-1} $ 行列 $ W(G_n) $ 内の $ k \times k $ 正則部分行列の特定問題に問題を還元する。これは、小さい $ k $ に対しては計算的に実行可能である。
• $ k = 1 $ の場合、構成法は、対応する列ベクトルに 1 をもつ単一のオンポイントと単一のオフポイントを選択することで簡略化され、効率的な生成が可能になる。
• 本手法は補数性の性質を保ち、$ f $ と $ f \oplus 1 $ は構成において同等に扱われる。
• 本結果により、正則部分行列の存在と最大代数的免疫をもつ関数の存在との間の直接的な対応関係が確立された。