[論文レビュー] Construction and enumeration for self-dual cyclic codes of even length over $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$

Yuan Cao, Yonglin Cao+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上の有限鎖環において、$u^2 = 0$ を満たす $2^s n$ の偶数長の自己双対循環符号の完全な代数的構成と列挙を、トレース逆数に基づく再帰的リフト法と $x^N - 1$ の因数分解を用いて行う。主な貢献は、このような自己双対符号の総数を表す閉形式の公式の導出であり、グレイ写像を介して $\mathbb{F}_{2^m}$ 上の自己双対および $2$-準循環符号の体系的生成を可能にする。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{2^m}$ be a finite field of cardinality $2^m$, $R=\mathbb{F}_{2^m}+u\mathbb{F}_{2^m}$ $(u^2=0)$ and $s,n$ be positive integers such that $n$ is odd. In this paper, we give an explicit representation for every self-dual cyclic code over the finite chain ring $R$ of length $2^sn$ and provide a calculation method to obtain all distinct codes. Moreover, we obtain a clear formula to count the number of all these self-dual cyclic codes. As an application, self-dual and $2$-quasi-cyclic codes over $\mathbb{F}_{2^m}$ of length $2^{s+1}n$ can be obtained from self-dual cyclic code over $R$ of length $2^sn$ and by a Gray map preserving orthogonality and distances from $R$ onto $\mathbb{F}_{2^m}^2$.

研究の動機と目的

• 有限鎖環 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上の偶数長自己双対循環符号の完全な分類と明示的構成を提供すること。
• 奇数 $n$ を持つ長さ $2^s n$ の異なる自己双対循環符号の数に対する閉形式の公式を導出すること。
• $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上の自己双対循環符号からグレイ写像を介して $\mathbb{F}_{2^m}$ 上の自己双対および $2$-準循環符号を体系的に生成する方法を確立すること。
• $\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$ 上の定型的循環符号および循環符号に関する先行研究を、より一般的な環 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ における偶数長符号へ一般化すること。

提案手法

• 方法は、$\mathbb{F}_{2^m}$ 上での $x^N - 1$ の既約因数分解に基づく再帰的リフト法を用いる。特に $n$ が奇数である場合の $N = 2^s n$ のケースに注目する。
• トレース逆数構成を導入する：$\mathcal{W}^{(2,s;k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})} = x^{-(4+k)} \cdot \operatorname{Tr}^{-1}(x^{4+k} \cdot \delta^{(k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})}(x))$ であり、$\delta^{(k)}$ は $f_2(x)$ のべき乗を法とする特定の合同関係を満たす多項式である。
• 構成は段階的に進行する：各 $k$ に対して、前段階の値を用いて $f_2(x)^k$ を法とする合同方程式系を解き、集合 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}_{(\beta_0,\dots,\beta_{k-1})}$ を計算する。
• この方法は環 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ の構造と、双対性および重み分布を保つ写像 $\phi: R \to \mathbb{F}_{2^m}^2$ の同型性に依存する。
• アルゴリズムは、$f_2(x)^k$ を法とする必要な合同関係を満たす $\delta^{(k)}$ 多項式を再帰的に解き、自己双対条件が保たれることを保証する。
• 最終的な符号は $\Omega_{2,s} = \sum_{k=0}^{3} \beta_k(x) f_2(x)^k$ として表され、$\beta_k(x)$ は事前に計算された集合 $\mathcal{W}^{(2,s;k)}$ から選ばれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上の偶数長 $2^s n$ の自己双対循環符号を明示的に構成できるか？
• RQ2 環 $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上の長さ $2^s n$ の異なる自己双対循環符号の正確な数は何か？
• RQ3 グレイ写像をどのように用いて $R$ 上の自己双対符号を $\mathbb{F}_{2^m}$ 上の自己双対および $2$-準循環符号にリフトできるか？
• RQ4 トレース逆数と多項式合同関係を用いた再帰的構成を可能にする代数的構造は何か？
• RQ5 この方法は、$\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ の形をした有限鎖環上の他の偶数長循環符号に対しても一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、$n$ が奇数である $R = \mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ 上の長さ $2^s n$ のすべての自己双対循環符号の完全かつ明示的な構成を、再帰的トレース逆数法を用いて提供する。
• このような自己双対循環符号の数に対する閉形式の公式が導出され、これは $f_2(x)$ のべき乗を法とする多項式合同方程式系の解の数に依存する。
• $s=2$, $m=1$, $n=1$ の場合、構成により $\Omega_{2,4}$ が得られ、その要素数は $16$ 個である：$\beta_0 = 0$ の分岐から $8$ 個、$\beta_0 = 1+x$ の分岐から $8$ 個。
• グレイ写像 $\phi$ は双対性および重み分布を保つため、$R$ 上の長さ $N$ の自己双対循環符号は、すべて $\mathbb{F}_{2^m}$ 上の長さ $2N$ の自己双対 $2$-準循環符号に写像される。
• 構成は効果的で体系的である：各レベル $k$ において、トレース逆数と多項式リフトを用いて $\mathcal{W}^{(2,s;k)}$ が再帰的に計算され、すべての解が網羅される。
• この方法は、$\mathbb{F}_2 + u\mathbb{F}_2$ 上の定型的循環符号および循環符号に関する先行研究を、より大きな環 $\mathbb{F}_{2^m} + u\mathbb{F}_{2^m}$ へ一般化し、より大きな有限体上の符号への適用可能性を拡張する。