[論文レビュー] Construction and examples of higher-dimensional modular Calabi-Yau manifolds

Sławomir Cynk, Klaus Hulek|ArXiv.org|Sep 19, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、複素乗法を持つ楕円曲線の積に作用する群 ℤ₃ⁿ および ℤ₄ⁿ を用いた一般化されたクーマー構成および商構成により、高次元のカラビ＝ヤウ多様体を構成する。中間コホモロジーのモジュラリティを示すために、重さ4および6の尖型形式と一致するL関数を示し、3次元を超える次元におけるモジュラー・カラビ＝ヤウ多様体の体系的で初の例を提供する。

ABSTRACT

We construct several examples of higher-dimensional Calabi-Yau manifolds and prove their modularity.

研究の動機と目的

• 高次元カラビ＝ヤウ多様体の既知の例に欠けている部分を埋める、特にモジュラーであるもの。
• カラビ＝ヤウ多様体の積に ℤ₂ⁿ 行動を用いた一般化されたクーマー構成を高次元に拡張し、新たなカラビ＝ヤウ多様体を生成する。
• 複素乗法を持つ楕円曲線の積に ℤ₃ⁿ および ℤ₄ⁿ 行動を用いた構成を精緻化し、中間コホモロジーが2次元または超越的格子を持つカラビ＝ヤウ多様体を得る。
• 中間コホモロジーのL関数が尖型形式（重さ4および6）と一致することを示し、それによってモジュラリティを証明する。
• アールグレンの5重空間の2重被覆として得られる滑らかな射影的モデルを、b₅ = 2 および尖型形式 η(q²)¹²（重さ6）と一致するL関数を持つカラビ＝ヤウ多様体として確立する。

提案手法

• カラビ＝ヤウ多様体の積に ℤ₂ⁿ 行動を作用させた商の、正則な解消としてカラビ＝ヤウ多様体を構成する一般化されたクーマー構成を用いる。
• 自明な標準バンドルを持つ多様体における滑らかな除集合に沿った2重被覆を用いて、初期のカラビ＝ヤウ多様体を構成する。
• 特異点を解消するために、codimension ≥ 2 の部分多様体に沿った繰り返しのブローアップを適用し、適切なブローアップにより正則な解消を保証する。
• ブローアップ後の分岐集合を、重複度の偶奇に応じて厳密変換または厳密変換＋例外的除集合として定義し、新たな除集合が偶数かつ非特異となるように保証する。
• 最終的なカラビ＝ヤウ多様体を、解消済み空間上の2重被覆として構成し、新たな分岐集合が必要な付随条件を満たすようにする。
• 得られた多様体の中間コホモロジーまたは超越的格子が、低次元コホモロジーのテンソル積として表され、2次元のモジュラー部分に分解可能であることに着目する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元カラビ＝ヤウ多様体を、モジュラーL関数を持つ体系的に構成できるか？
• RQ2 複素乗法を持つ楕円曲線の積に ℤ₃ⁿ および ℤ₄ⁿ 行動を用いた商構成により、中間コホモロジーが2次元である滑らかなカラビ＝ヤウ多様体が得られるか？
• RQ3 このような多様体の中間コホモロジーのL関数はモジュラーか？ もしそうなら、どの尖型形式に対応するか？
• RQ4 アールグレンの5次元空間の2重被覆は、既知のモジュラリティを持つ滑らかなカラビ＝ヤウ多様体として実現可能か？
• RQ5 繰り返しのブローアップによる特異点解消が正則であり、カラビ＝ヤウ性質を保つための条件は何か？

主な発見

• 本稿は、すべての奇数次元 ≥ 5 および偶数次元 ≥ 4 において、一般化されたクーマー構成および商構成を用いて、高次元カラビ＝ヤウ多様体の明示的例を構成する。
• 複素乗法を持つ楕円曲線の積に ℤ₃ⁿ および ℤ₄ⁿ 行動を用いた商から得られる多様体について、次元が奇数の場合は中間コホモロジー、偶数の場合は超越的格子が2次元であり、重さ4の尖型形式に対応するモジュラーである。
• アールグレンの2重被覆から得られる5次元カラビ＝ヤウ多様体は、ホッジ数 b₁ = b₃ = 0 および b₅ = 2 を持ち、そのL関数は重さ6、レベル4の尖型形式 g₆(q) = η(q²)¹² と一致する。
• 最小で非近似ペンタゴン成分に沿った繰り返しの適切なブローアップにより特異点解消が達成され、正則な解消が得られ、カラビ＝ヤウ性質が保たれる。
• 構成されたカラビ＝ヤウ多様体の中間コホモロジーが、低次元コホモロジーのテンソル積と同型であり、2次元ガロア表現に半単純化され、モジュラー形式に対応することが示された。
• L関数のモジュラリティは、中間コホモロジー上のガロア表現が期待される重さおよびレベルのモジュラー形式から生じることを示すことにより確立され、高次元におけるフォンタイン＝マザール型の予想が裏付けられた。