[論文レビュー] Construction and impromptu repair of an MST in a distributed network with o(m) communication

Valerie King, Shay Kutten+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Distributed systems and fault tolerance参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、分散ネットワークにおける最小全域木（MST）および全域木（ST）を構築するためのモンテカルロアルゴリズムを提示する。通信量は o(m) に抑えられ、長年にわたり広く信じられてきた「folk theorem」（Ω(m) メッセージが必要）に反する。同期的 CONGEST モデルにおいて、MST は O(n log²n / log log n) メッセージ、ST は O(n log n) メッセージを要する。エッジの更新に伴うMST/STの即時の修復は、削除では O(n log n / log log n) の期待メッセージ数、挿入では O(n) を要し、事前処理や補助記憶領域を必要としない。

ABSTRACT

In the CONGEST model, a communications network is an undirected graph whose $n$ nodes are processors and whose $m$ edges are the communications links between processors. At any given time step, a message of size $O(\log n)$ may be sent by each node to each of its neighbors. We show for the synchronous model: If all nodes start in the same round, and each node knows its ID and the ID's of its neighbors, or in the case of MST, the distinct weights of its incident edges and knows $n$, then there are Monte Carlo algorithms which succeed w.h.p. to determine a minimum spanning forest (MST) and a spanning forest (ST) using $O(n \log^2 n/\log\log n)$ messages for MST and $O(n \log n )$ messages for ST, resp. These results contradict the "folk theorem" noted in Awerbuch, et.al., JACM 1990 that the distributed construction of a broadcast tree requires $Ω(m)$ messages. This lower bound has been shown there and in other papers for some CONGEST models; our protocol demonstrates the limits of these models. A dynamic distributed network is one which undergoes online edge insertions or deletions. We also show how to repair an MST or ST in a dynamic network with asynchronous communication. An edge deletion can be processed in $O(n\log n /\log \log n)$ expected messages in the MST, and $O(n)$ expected messages for the ST problem, while an edge insertion uses $O(n)$ messages in the worst case. We call this "impromptu" updating as we assume that between processing of edge updates there is no preprocessing or storage of additional information. Previous algorithms for this problem that use an amortized $o(m)$ messages per update require substantial preprocessing and additional local storage between updates.

研究の動機と目的

• 分散ネットワークにおける全域木またはMSTの構築に Ω(m) メッセージが必要であるという広く信じられていた信念に挑戦すること。
• 同期的 CONGEST モデルにおいて、MST および ST 構築のための効率的で確率的なアルゴリズムを設計し、o(m) メッセージ量複雑性を達成すること。
• エッジの挿入や削除の後、事前処理や更新間の補助記憶領域を必要とせずに、MST や ST を動的かつ即時に修復できることを実現すること。
• 確率的処理が動的グラフアルゴリズムにおける恒久的履歴追跡の代わりに機能できることを示し、更新ごとに最悪ケースで o(m) の通信量を達成できることを示すこと。

提案手法

• ストリーミング風の手法を分散環境に適応し、メッセージ量を削減するために確率的エッジ選択を用いる。
• 各フェーズで最小重みエッジ（MST用）または任意の出次数エッジ（ST用）を確率的に選択する、変更版ボルヴカスタイルの手法を用いる。
• リーダー選出を用いたサイクル検出メカニズムを導入し、ST 構築中に発生するサイクルを特定・解除する。
• サイクル上にいるノードが、確率的に1本の接続エッジを除外する確率的アンマークプロトコルを導入し、高確率でサイクルを解消する。
• フラグメント数を段階的に減少させる、階層的かつ確率的なマージプロセスを用い、フラグメント数の対数的減少を活用する。
• 動的修復のためのハイブリッドアプローチを採用：エッジ削除時に、FindAny や FindMin 操作を確率的に調整して修復プロトコルを開始し、恒久的データ構造を避ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 CONGEST モデルにおいて、Ω(m) の下界が長く信じられてきたが、全域木を o(m) メッセージで構築することは可能か？
• RQ2 アモアタイズド解析や補助記憶領域に依存せずに、MST 構築のメッセージ量を o(m) に抑えることは可能か？
• RQ3 エッジの挿入や削除の後、事前処理や恒久的データ構造を必要とせずに、MST/ST の即時の修復を o(m) メッセージで行えるか？
• RQ4 確率的処理により、動的グラフアルゴリズムにおける履歴追跡を置き換えられ、最悪ケースで sub-Ω(m) の通信量を達成できるか？
• RQ5 MST 構築のメッセージ量を、ST 構築に近づけ、O(n log²n / log log n) から O(n log n / log log n) にまで低減できるか？

主な発見

• 本稿のMST構築アルゴリズムは、O(n log²n / log log n) メッセージと O(n log n / log log n) 時間を要し、同期的 CONGEST モデルで o(m) 通信を達成する。
• ST 構築のためのアルゴリズムは、O(n log n) メッセージと時間で動作し、かつて厳密な下界と信じられていた Ω(m) に比べて顕著に低い。
• MST 構築アルゴリズムは高確率（1 - 1/n^c）で成功し、期待される反復回数は 16 で抑えられている。
• エッジ削除後のMSTの即時の修復には、O(n log n / log log n) の期待メッセージ数が使用され、ST の場合は O(n) の期待メッセージ数が使用され、いずれも事前処理や補助記憶領域を必要としない。
• エッジ挿入は、最悪ケースで O(n) メッセージで処理され、o(m) 複雑性がアモアタイズドではなく最悪ケースでも達成可能であることを示している。
• 結果として、確率的処理により動的グラフアルゴリズムにおける恒久的データ構造を置き換えられ、アモアタイズドでない最悪ケースでも o(m) メッセージ量を達成可能であることが示された。