[論文レビュー] Construction and Uniqueness for reflected BSDE under linear increasing condition

Guangyan Jia, Mingyu Xu|ArXiv.org|Jan 24, 2008

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、生成子 $ g $ に線形増加条件が成り立つ場合、1つまたは2つのバリアを伴う反射型後向き確率微分方程式（RBSDE）の解の存在と一意性を確立する。$ g + c $ を通じた摂動アプローチを導入し、一意性が成り立つのは、最小解の期待値が $ c $ に関して連続であるときであり、かつそのときに限ることを証明する。また、一意でない $ c $ 値の集合は高々可算であることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we study the uniqueness of the solution of reflected BSDE with one or two barriers, under continuous and linear increasing condition of generator $g$. Before that we study the construction of solution of of reflected BSDE with one or two barriers.

研究の動機と目的

• 生成子 $ g $ に線形増加条件が成り立つ場合、1つまたは2つのバリアを伴う反射型BSDEの解の存在と一意性を確立すること。
• 生成子に定数 $ c $ を加えた摂動に対する解の安定性および連続性を分析すること。
• 生成子 $ g + c $ を持つ反射型BSDEが複数の解をもつ $ c $ 値の集合を特定すること。
• 期待最小解・最大解のパスが $ c $ に関して連続であるという条件に基づき、一意性の十分条件を提供すること。

提案手法

• 生成子 $ g $ に線形増加条件が成り立つ場合、リプシッツ連続な切り捨て関数 $ \underline{g}_n $ および $ \overline{g}_n $ を用いた近似により、1つまたは2つのバリアを伴う反射型BSDEの解を構成する。
• RBSDEの比較定理を用いて、$ g $ の解とその近似 $ \underline{g}_n $、$ \overline{g}_n $ の解を比較する。
• 補助関数 $ \underline{m}(t,c) = \mathbb{E}[\underline{y}_t^c] $ および $ \overline{m}(t,c) = \mathbb{E}[\overline{y}_t^c] $ を定義し、それぞれ摂動 $ c $ の下での最小解および最大解の期待値を表す。
• 解が $ g + c $ に対して一意であることは、$ \underline{m}(t,c) $ および $ \overline{m}(t,c) $ が $ c $ で連続であることと同値であることを、単調性および連続性の性質を用いて証明する。
• 単調関数は高々可算個の不連続点しか持たないという事実を用いて、複数の解をもつ $ c $ の集合が高々可算であることを示す。
• 先行研究からの収束結果および比較定理を活用し、$ \underline{m}(t,c) $ および $ \overline{m}(t,c) $ の連続性および単調性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子 $ g $ が線形増加条件を満たす場合、1つまたは2つのバリアを伴う反射型BSDEが、どのような条件下で一意解をもつのか。
• RQ2 生成子に定数 $ c $ を加えた摂動に対して、反射型BSDEの解はどのように振る舞い、解のパスの連続性を決定づける要因は何なのか。
• RQ3 生成子 $ g + c $ を持つ反射型BSDEが複数の解をもつ $ c \in \mathbb{R} $ の集合の構造はいかなるものか。
• RQ4 期待最小解または最大解の $ c $ に関する連続性を用いて、解の一意性を特徴づけることは可能か。
• RQ5 生成子 $ g $ の近似 $ \underline{g}_n $ および $ \overline{g}_n $ は、元のRBSDEの存在および一意性の証明にどのように寄与するか。

主な発見

• 生成子 $ g $ に線形増加条件が成り立つ場合、近似および収束の議論により、1つまたは2つのバリアを伴う反射型BSDEの解が存在することが保証される。
• 生成子 $ g + c $ に対して解が一意であるのは、すべての $ t \in [0,T] $ に対して最小解の期待値 $ \underline{m}(t,c) $ が $ c $ で連続であるときであり、かつそのときに限る。
• 期待値関数 $ \underline{m}(t,c) $ および $ \overline{m}(t,c) $ は $ c $ に関して単調であり、その $ c $ における連続性が一意性を特徴付ける。
• 生成子 $ g + c $ を持つ反射型BSDEが1つより多くの解をもつ $ c \in \mathbb{R} $ の集合は高々可算である。
• 摂動されたRBSDEの最小解および最大解 $ \underline{y}_t^c $、$ \overline{y}_t^c $ は、$ \underline{y}_t^c \geq y_t $ を満たすため、比較原理が成立する。
• $ \underline{m}(t,c) $ および $ \overline{m}(t,c) $ が $ c $ で連続であることは、生成子 $ g + c $ を持つRBSDEの解の一意性にとって必要かつ十分条件である。