[論文レビュー] Construction of a blow-up solution for a perturbed nonlinear heat equation with a gradient and a non-local term

Bouthaina Abdelhedi, Hatem Zaag|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、勾配項と非局所項を含む摂動された非線形熱方程式に対して、類似変数とスペクトル解析を用いて爆発解の構成を行う。解は有限時刻に爆発し、標準非線形熱方程式の普遍的プロファイルと正確に一致する。摂動下でも成り立つ。また、爆発時刻近傍における解およびその勾配の空間的減衰推定値を鋭く得る。

ABSTRACT

We consider in this paper a perturbation of the standard semilinear heat equation by a term involving the space derivative and a non-local term. We prove the existence of a blow-up solution, and give its blow-up profile. Our proof relies on the following method: we linearize the equation (in similarity variables) around the expected profile, then, we control the nonpositive directions of the spectrum thanks to the decreasing properties of the kernel. Finally, we use a topological argument to control the positive directions of the spectrum.

研究の動機と目的

• 標準非線形熱方程式の摂動版である勾配項および非局所項を有する半線形熱方程式に対して、爆発解の存在を確立すること。
• 解の爆発プロファイルを特定し、それが標準非線形熱方程式の普遍的プロファイルに収束することを示すこと。
• 勾配項および非局所項の両方の摂動が同時に作用する状況下でも、解の構成法のロバストネスを分析すること。
• 爆発時刻に近い尾部領域における解およびその勾配の鋭い空間的減衰推定値を提供すること。

提案手法

• 期待される爆発プロファイルの周囲で類似変数における方程式を線形化し、線形化された作用素のスペクトル性質を調べる。
• 線形化作用素に関連するカーネルの減衰性質を用いて、非正固有値方向を制御する。
• トポロジカルな議論を用いて正固有値方向を制御し、プロファイル近傍における解の安定性を保証する。
• 重み付きソボレフ空間 $W^{1,∞}_{\beta}(\mathbb{R}^N)$ を用いて、解およびその勾配の尾部領域における制御を行う。重みは $ (1 + |x|^\beta) $ である。
• 適切な関数空間における固定点定理を用いて、所望の境界を満たす解の存在を証明する。
• 勾配項および非局所積分項を含む非線形項を、重み付き $L^\infty$ ノルムおよび $p$, $q$, $\beta$ に関する仮定を用いて推定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準非線形熱方程式に対する古典的な爆発プロファイル構成法は、勾配項および非局所項を有する方程式へと拡張可能か？
• RQ2 勾配項および非局所積分項の存在が、爆発プロファイルおよび空間的減衰率に与える影響は何か？
• RQ3 パラメータ $p$, $q$, および $\mu$ にどのような条件を課せば、元の状態と同一のプロファイルで爆発する解が存在するか？
• RQ4 爆発時刻に近い尾部領域における解およびその勾配の空間的減衰推定値は、どの程度鋭く得られるか？
• RQ5 勾配項および非局所非線形項の両方の影響を同時に受ける状況下でも、解の構成法はロバストか？

主な発見

• 解 $u(x,t)$ は原点で有限時刻 $T$ に爆発し、爆発プロファイルは普遍的プロファイル $f(z) = (p-1 + \frac{(p-1)^2}{4p}|z|^2)^{-1/(p-1)}$ と一致する。
• 解は不等式 $|u(x,t) - (T-t)^{-1/(p-1)}f(\frac{x}{\sqrt{(T-t)|\log(T-t)|}})| \leq \frac{C}{1 + (\frac{|x|^2}{T-t})^{\beta/2}} \frac{(T-t)^{-1/(p-1)}}{|\log(T-t)|^{(1-\beta)/2}}$ を満たす。ここで $0 < \beta < \frac{2}{p-1}$ である。
• 勾配に対しても同様の推定が成り立つ： $|\nabla u(x,t) - \frac{(T-t)^{-1/2 - 1/(p-1)}}{\sqrt{|\log(T-t)|}} \nabla f(\cdots)| \leq \frac{C}{1 + (\frac{|x|^2}{T-t})^{\beta/2}} \frac{(T-t)^{-1/2 - 1/(p-1)}}{|\log(T-t)|^{(1-\beta)/2}}$。
• 不等式 $|x| \geq (T-t)^{1/2} |\log(T-t)|^{\frac{1}{2}(1 + (\frac{2}{p-1} - \beta)^{-1})}$ を満たす領域では、$|u(x,t)| \leq \frac{C}{|x|^\beta}$ が成り立ち、尾部領域の制御が向上している。
• パラメータ条件 $p > 3$, $\frac{N}{2}(p-1)+1 < q < \frac{N}{2}(p-1) + \frac{p+1}{2}$, および $\mu \in \mathbb{R}$ の下で、構成法は有効である。$\beta$ は $\mu$ に依存して選ばれる。
• MerleとZaag（1998年）の先行研究を改善し、空間的尾部における減衰推定値をより鋭くし、プロファイル収束の精度を向上させた。