[論文レビュー] Construction of a minimal mass blow up solution of the modified Benjamin-Ono equation

Yvan Martel, Didier Pilod|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 64被引用数 32

ひとこと要約

この論文は、完全可積分性を欠く質量臨界分散型偏微分方程式である修正ベンジャミン＝オノ方程式（mBO）に対して、初めて知られる最小質量爆発解を構成する。精密化されたエネルギー推定と局在化議論を用いて、解 $ S(t) $ が基底状態 $ Q $ の $ L^2 $-ノルムに集中し、有限時間で爆発するが、漸近的プロファイル $ \frac{1}{\lambda^{1/2}(t)} Q\left(\frac{\cdot - x(t)}{\lambda(t)}\right) $ をとることを証明する。ここで $ \lambda(t) \sim t $、$ x(t) \sim -|\ln t| $、$ \|S(t)\|_{\dot{H}^{1/2}} \sim t^{-1/2}\|Q\|_{\dot{H}^{1/2}} $ であり、$ t \downarrow 0 $ のとき成り立つ。

ABSTRACT

We construct a minimal mass blow up solution of the modified Benjamin-Ono equation (mBO) \\[ u_{t}+(u^3-D^1 u)_{x}=0, \\] which is a standard mass critical dispersive model. Let $Q\\in H^{\\frac 12}$, $Q>0$, be the unique ground state solution of $D^1 Q +Q=Q^3$, constructed using variational arguments by Weinstein (Comm. PDE, 12 (1987), J. Diff. Eq., 69 (1987)) and Albert, Bona and Saut (Proc. Royal London Soc., 453 (1997)), and whose uniqueness was recently proved by Frank and Lenzmann (Acta Math., 210 (2013)). We show the existence of a solution $S$ of (mBO) satisfying $\\|S \\|_{L^2}=\\|Q\\|_{L^2}$ and \\[ S(t)-\\frac1{\\lambda^{\\frac12}(t)} Q\\left(\\frac{\\cdot - x(t)}{\\lambda(t)}\ ight)\ o 0\\quad \\mbox{ in }\\ H^{\\frac 12}(\\mathbb R) \\mbox{ as }\\ t\\downarrow 0, \\] where \\[ \\lambda(t)\\sim t,\\quad x(t) \\sim -|\\ln t| \\quad \\hbox{and}\\quad \\|S(t)\\|_{\\dot H^{\\frac 12}} \\sim t^{-\\frac 12}\\|Q\\|_{\\dot H^{\\frac 12}} \\quad \\hbox{as}\\ t\\downarrow 0. \\] This existence result is analogous to the one obtained by Martel, Merle and Rapha\\"el (J. Eur. Math. Soc., 17 (2015)) for the mass critical generalized Korteweg-de Vries equation. However, in contrast with the (gKdV) equation, for which the blow up problem is now well-understood in a neighborhood of the ground state, $S$ is the first example of blow up solution for (mBO). The proof involves the construction of a blow up profile, energy estimates as well as refined localization arguments, developed in the context of Benjamin-Ono type equations by Kenig, Martel and Robbiano (Ann. Inst. H. Poincar\\'e, Anal. Non Lin., 28 (2011)). Due to the lack of information on the (mBO) flow around the ground state, the energy estimates have to be considerably sharpened in the present paper.

研究の動機と目的

• 修正ベンジャミン＝オノ方程式（mBO）に対して最小質量爆発解を構成すること。mBOは質量臨界であり、完全可積分性を欠く。
• 基底状態 $ Q $ が一意に正であるとすると、解が臨界質量 $ \|Q\|_{L^2} $ で有限時間に爆発することを確立すること。
• 爆発ダイナミクスを、爆発時刻近傍における解の漸近的プロファイルを特定することで特徴付けること。
• 基底状態周辺の流れに関する詳細な情報が欠如している状況において、ベンジャミン＝オノ型方程式の文脈でエネルギー推定を鋭くすることで、これを克服すること。

提案手法

• 変分法を用いて、$ D^1 Q + Q = Q^3 $ を満たす $ H^{1/2} $ 内の基底状態 $ Q \in H^{1/2} $ を用いた爆発プロファイルの構成。
• ケニッジ、マルテーリ、ロビアンノが開発した、ベンジャミン＝オノ型方程式に特化した精密化されたエネルギー推定と局在化議論の適用。
• ソリトン型成分、スケーリング、誤差項への分解の使用：$ u(t) = \frac{1}{\lambda^{1/2}(t)} \left( Q + b(t) P_{b(t)} + \varepsilon \right) \left( \frac{\cdot - x(t)}{\lambda(t)} \right) $、ただし $ \varepsilon $ は $ H^{1/2} $ で小さい。
• 近似解列 $ u_{n_k}(t) $ を用いたコンパクトネス議論により、$ (0, t_0] $ 上で極限解 $ S(t) $ に収束することを示す。
• パラメータの収束の確立：$ \lambda_{n_k}(t) \to \lambda(t) $、$ x_{n_k}(t) \to x(t) $、$ b_{n_k}(t) \to b(t) $、および $ \varepsilon_{n_k}(t) \rightharpoonup \varepsilon(t) $ を $ H^{1/2} $ で弱収束とすること。
• 漸近的挙動の導出：$ \lambda(t) \sim t $、$ x(t) \sim -|\ln t| $、$ b(t) \sim -t $、および $ \|S(t)\|_{\dot{H}^{1/2}} \sim t^{-1/2}\|Q\|_{\dot{H}^{1/2}} $ であり、$ t \downarrow 0 $ のとき成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 mBO方程式に対して最小質量爆発解が存在するか、すなわち $ \|u_0\|_{L^2} = \|Q\|_{L^2} $ を満たす解が有限時間に爆発するか？
• RQ2 このような解の爆発時刻近傍における正確な漸近的プロファイルは何か？
• RQ3 スケーリングパラメータ $ \lambda(t) $、位置 $ x(t) $、モデュレーションパラメータ $ b(t) $ は $ t \downarrow 0 $ のときどのように振る舞うか？
• RQ4 基底状態周辺の詳細な流れ情報が欠如している状況でも、エネルギー推定を十分に鋭くすることで解のダイナミクスを制御できるか？
• RQ5 最小質量の場合に、爆発プロファイルは安定的かつ一意的か？

主な発見

• mBO方程式に対して最小質量爆発解 $ S(t) $ が存在し、$ \|S(t)\|_{L^2} = \|Q\|_{L^2} $ を満たす。質量臨界閾値の鋭さが証明された。
• $ t \downarrow 0 $ のとき、解は $ \left\| S(t) - \frac{1}{\lambda^{1/2}(t)} Q\left( \frac{\cdot - x(t)}{\lambda(t)} \right) \right\|_{L^2} \lesssim t^{1/2} $ を満たし、リスケーリングされた基底状態に収束することを示す。
• $ \dot{H}^{1/2} $-ノルムは $ \|S(t)\|_{\dot{H}^{1/2}} \sim t^{-1/2} \|Q\|_{\dot{H}^{1/2}} $ を満たし、エネルギー空間における爆発速度が確認された。
• スケーリングパラメータは $ \lambda(t) \sim t $、位置は $ x(t) \sim -|\ln t| $、モデュレーションパラメータは $ b(t) \sim -t $ であり、$ |b(t)| \lesssim t $ を満たす。
• 誤差項 $ \varepsilon(t) $ は $ \|\varepsilon(t)\|_{\dot{H}^{1/2}} \lesssim t^{2/3 + 4\alpha} $ および $ \|\varepsilon(t)\|_{L^2} \lesssim t^{1/2} $ を満たし、臨界正則性空間で小ささが確認された。
• これはmBO方程式に対する爆発解の初めての構成であり、完全可積分性を欠く質量臨界分散系の理解における重要な空白を埋めた。