[論文レビュー] Construction of all general symmetric informationally complete measurements

Amir Kalev, Gilad Gour|arXiv (Cornell University)|May 28, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 1被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、すべての一般対称情報的に完全な正の自己随伴作用素値測定（SIC POVM）の完全な族を構築し、次元 $d^2 - 1$ の実ベクトル空間の任意の正規直交基底が一意に一般SIC POVMに対応することを示した。主な貢献は、すべての有限次元において一般SIC POVMが存在することの証明であり、そのランクを制御する連続的パラメータ $a = \mathrm{Tr}(P_\alpha^2)$ が、全ランク（$a \to 1/d^3$）からほぼランク1（$a \to 1/d^2$）まで変化することを示した。これには、量子状態を最小限に撹乱する弱SIC POVMも含まれる。

ABSTRACT

We construct the set of all general (i.e. not necessarily rank 1) symmetric informationally complete (SIC) positive operator valued measures (POVMs). In particular, we show that any orthonormal basis of a real vector space of dimension d^2-1 corresponds to some general SIC POVM and vice versa. Our constructed set of all general SIC-POVMs contains weak SIC-POVMs for which each POVM element can be made arbitrarily close to a multiple times the identity. On the other hand, it remains open if for all finite dimensions our constructed family contains a rank 1 SIC-POVM.

研究の動機と目的

• 任意の有限次元 $d$ におけるすべての一般（非ランク1）対称情報的に完全なPOVMの完全な集合を構築すること。
• 一般SIC POVMがすべての有限次元において存在するかどうかという未解決の問いを解消すること。
• 連続的パラメータ $a = \mathrm{Tr}(P_\alpha^2)$ を用いたSIC POVMの完全な族の特徴付けを行い、これがPOVMのランクと撹乱を決定することを示すこと。
• すべての $d$ に対して、要素が $\frac{1}{d^2}I$ に非常に近い弱SIC POVMが存在し、状態への撹乱を最小限に抑えることを示すこと。

提案手法

• 次元 $d^2 - 1$ のトレースゼロのエルミート空間 $\mathrm{T}_d$ の正規直交基底 $\{F_\alpha\}$ に作用する実直交行列 $A$ を用いて、すべての一般SIC POVMをパrameter化する。
• SIC POVM要素を $P_\alpha = \frac{1}{d^3}I + t \sum_{\beta=1}^{d^2-1} A_{\alpha\beta} R_\beta$ として構築する。ここで $R_\beta$ は $\mathrm{T}_d$ の正規直交基底をなすトレースゼロのエルミート作用素である。
• ヒルベルト・シュミット内積を用いて対称性を強制する：$\alpha \neq \beta$ のとき $\mathrm{Tr}(P_\alpha P_\beta) = b$ であり、すべての $\alpha$ に対して $\mathrm{Tr}(P_\alpha^2) = a$ である。$a$ と $b$ は $b = \frac{1 - da}{d(d^2 - 1)}$ で関係づけられる。
• 基底 $\{F_\alpha\}$ の直交性とトレース制約を用いて $P_\alpha$ 作用素の線形独立性を証明し、これが有効なPOVMを形成することを保証する。
• 任意の $\mathbb{R}^{d^2 - 1}$ の正規直交基底が一意に一般SIC POVMに対応することを示し、一対一対応を確立する。
• パラメータ $a$ が $1/d^3$（全ランク）から $1/d^2$（ほぼランク1）まで連続的に変化することを示し、$a = 1/d^2$ がランク1SIC POVMに対応することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての有限次元 $d$ において、一般SIC POVMの完全な族が存在するか？
• RQ2 すべての一般SIC POVMは、次元 $d^2 - 1$ の実ベクトル空間の正規直交基底によってパrameter化可能か？
• RQ3 パラメータ $a = \mathrm{Tr}(P_\alpha^2)$ は、SIC POVMのランクと撹乱を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 すべての $d$ に対して、要素が $\frac{1}{d^2}I$ に非常に近い弱SIC POVMが存在するか？ また、それらを明示的に構成可能か？
• RQ5 すべての次元においてランク1SIC POVMが存在することと、$a = 1/d^2$ が構築された族内で達成可能であることは同値か？

主な発見

• 次元 $d$ におけるすべての一般SIC POVMは、次元 $d^2 - 1$ の実ベクトル空間の正規直交基底と一対一に対応しており、完全な分類が確立された。
• パラメータ $a = \mathrm{Tr}(P_\alpha^2)$ は、一般SIC POVMの種類を完全に特徴づけ、$a \in (1/d^3, 1/d^2]$ である。$a = 1/d^2$ はランク1SIC POVMに対応する。
• すべての $d$ に対して、すべての要素が $\frac{1}{d^2}I$ に任意に近い弱SIC POVMが存在し、測定対象の状態への撹乱を最小限に抑える。
• この構成により、すべての有限次元において一般SIC POVMが存在することを証明し、その存在に関する未解決問題を解決した。
• 一般SIC POVMの族は $a$ に関して連続的であるため、ある $a_0 > 1/d^3$ が達成可能であれば、すべての $a \in (1/d^3, a_0]$ も達成可能である。
• 最大値 $a_{\max} = 1/d^2$ が達成可能であるのは、次元 $d$ にランク1SIC POVMが存在する場合に限る。これは未解決の問題のままである。