[論文レビュー] Construction of Cauchy Data of Vacuum Einstein field equations Evolving to Black Holes

Junbin Li, Pin Yu|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、初期に捕獲表面を有さないが、未来発展において捕獲表面を形成する、真空中アインシュタイン方程式の完全で漸近的に平坦なコーシー初期データを構成する。クリストウルーフの動的ブラックホール形成理論とコルビーノ＝シューレンのグルーピング技術を組み合わせることで、球内では正確にミンコフスキー、空間無限遠ではカー型、中間領域では重力的集光によって捕獲表面が形成される滑らかな遷移を持つデータを構築する。

ABSTRACT

We show the existence of complete, asymptotically flat Cauchy initial data for the vacuum Einstein field equations, free of trapped surfaces, whose future development must admit a trapped surface. Moreover, the datum is exactly a constant time slice in Minkowski space-time inside and exactly a constant time slice in Kerr space-time outside. The proof makes use of the full strength of Christodoulou's work on the dynamical formation of black holes and Corvino-Schoen's work on the constructions of initial data set.

研究の動機と目的

• 初期に捕獲表面を有さないが、将来に捕獲表面を形成する真空中アインシュタイン方程式の完全で漸近的に平坦な初期データセットを構築すること。
• 真空中で初期に散らばった非捕獲的配置から、動的ブラックホール形成が起こることを示すこと。
• 中間領域で捕獲表面形成が起こる領域を介して、ミンコフスキーとカー型データを滑らかにグルーピングすること。
• 初期データセットがスパタイムライク超曲面全体でアインシュタイン制約方程式を満たすようにすること。

提案手法

• 重力波の集光が捕獲表面形成を引き起こすように、クリストウルーフのショートパルスアンザッツと動的ブラックホール形成フレームワークを用いる。
• コルビーノ＝シューレンのグルーピング技術を適用し、球内ではミンコフスキー、空間無限遠ではカー型データをマッチングすることで、グローバルな初期データセットを構築する。
• 関数 $ u = f(\underline{u}) $ を用いて構成されるスパタイムライク超曲面 $ H_0 $ が滑らかさと正の外側光線拡張を保証するようにする。
• 超曲面 $ \Sigma = \mathbb{R}^3 $ を四つの領域に分割する：$ \Sigma_M $（ミンコフスキー）、$ \Sigma_C $（遷移領域）、$ \Sigma_S $（グルーピング済みデータ）、$ \Sigma_K $（カー型）。境界で滑らかにマッチングする。
• 最大原理とトレース推定を用いて、中間領域に曲率が存在しても初期超曲面上に捕獲表面が存在しないことを示す。
• 最終的なデータセット $ (\bar{g}_\Sigma, \bar{k}_\Sigma) $ が制約方程式を満たし、すべての領域で滑らかであることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真空中アインシュタイン方程式の初期データを、初期に捕獲表面がなくとも、将来に捕獲表面を形成するように構築できるか？
• RQ2 中間領域を介してミンコフスキーとカー型初期データをグルーピングすることは可能か？ その際、制約方程式が保たれ、動的ブラックホール形成が達成されるか？
• RQ3 重力波の集光による捕獲表面の動的形成は、グローバルに正則で漸近的に平坦なデータを持つコーシー超曲面上で実現可能か？
• RQ4 中間領域に曲率が存在しても、初期コーシー初期データ上に捕獲表面が存在しないことを保証する条件は何か？
• RQ5 クリストウルーフとコルビーノ＝シューレンの結果の全貌を組み合わせて、このようなデータセットを構築するにはどうすればよいか？

主な発見

• 構築された初期データセットは完全で、漸近的に平坦であり、初期超曲面上に捕獲表面が存在しない。
• データセットの未来発展には捕獲表面が含まれており、初期に散らばった真空中の配置から動的ブラックホール形成が確認された。
• データは半径 $ r_0 $ の球内では正確にミンコフスキーであり、より大きな半径 $ r_2 $ の外側では正確にカー型であり、その間は滑らかに遷移する。
• 初期データ上の捕獲表面の不在は最大原理によって証明される：任意の球 $ S $ に対して、その内側の座標球 $ S_{r_S} $ との接点において、外側光線拡張 $ \theta_S(p) > 0 $ であり、$ \theta_{S_{r_S}} > 0 $ である。
• この結果は、$ \mathrm{tr}_S \bar{k}_\Sigma(p) = \mathrm{tr}_{S_{r_S}} \bar{k}_\Sigma(p) $ かつ $ H_S(p) \geq H_{S_{r_S}}(p) $ であることに依存し、これにより $ \theta_S(p) > 0 $ が保証され、したがってどの球も捕獲されない。
• この結果は、真空中で特異的でなく非捕獲的初期データからもブラックホール形成が動的に起こり得ることを確認し、弱い宇宙の監視予想と整合的である。