[論文レビュー] Construction of combinatorial manifolds with the prescribed sets of links of vertices

Alexander A. Gaifullin|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、単体的サイクルの特異点を解消することで、所望の頂点リンクの同型類の集合をもつ向き付けられた組合せ的多様体を構成する。任意の向き付けられた組合せ的球面のバランスの取れた集合（向きの反転について閉じているもの）は、ペア $(Z, -Z)$ を加えることで、組合せ的多様体のリンク集合として実現可能であり、これにより局所的な組合せ的公式を用いて有理数係数のポントリャーギン類を明示的に実現し、リンク変換 $ olimits\mathcal{L}$ の逆問題を解ける。

ABSTRACT

To each oriented closed combinatorial manifold we assign the set (with repetitions) of isomorphism classes of links of its vertices. The obtained transformation L is the main object of study of the present paper. We pose a problem on the inversion of the transformation L. We shall show that this problem is closely related to N.Steenrod's problem on realization of cycles and to the Rokhlin-Schwartz-Thom construction of combinatorial Pontryagin classes. It is easy to obtain a condition of balancing that is a necessary condition for a set of isomorphism classes of combinatorial spheres to belong to the image of the transformation L. In the present paper we give an explicit construction providing that each balanced set of isomorphism classes of combinatorial spheres gets into the image of L after passing to a multiple set and adding several pairs of the form (Z,-Z), where -Z is the sphere Z with the orientation reversed. This construction enables us, for a given singular simplicial cycle of a space R, to construct explicitly a combinatorial manifold M and a mapping $ϕ:M o R$ such that $ϕ_*[M]=r[ξ]$ for some positive integer r. The construction is based on resolving singularities of the cycle $ξ$. We give applications of our main construction to cobordisms of manifolds with singularities and cobordisms of simple cells. In particular, we prove that every rational additive invariant of cobordisms of manifolds with singularities admits a local formula. Another application is the construction of explicit (though inefficient) local combinatorial formulae for polynomials in the rational Pontryagin classes of combinatorial manifolds.

研究の動機と目的

• 変換 $\mathcal{L}$ の逆問題を解くこと、ここで $\mathcal{L}$ は各向き付けられた組合せ的多様体にその頂点リンクの同型類の多重集合を割り当てる。
• 与えられた多重集合が、ある組合せ的多様体のリンク集合として生じるための条件を確立すること。
• 任意のバランスの取れた多重集合の組合せ的球面を、ペア $(Z, -Z)$ を加えることで、組合せ的多様体のリンク集合として明示的に実現するための構成法を提供すること。
• 特異点をもつ多様体のコボルディズムにこの構成を適用し、有理数係数のポントリャーギン類の局所的な組合せ的公式を導出すること。

提案手法

• 向き付けられた $(n-1)$-次元球面の同型類の自由アーベル群を、関係 $Y + (-Y) = 0$ で割った群 $\mathcal{T}_n$ を定義し、微分 $d$ をもつチェイン複体を構成する。
• 多様体をその頂点リンクの和として $\mathcal{T}_n$ 内に写す変換 $\mathcal{L}_{\mathcal{T}}$ を用い、逆問題の簡略化を図る。
• 特異な単体的サイクル $\xi$ の特異点を解消する手順により、与えられたリンク多重集合を実現する多様体を構成する。この手順では、特異単体を組合せ的球面に置き換え、一致するリンクに沿って貼り合わせる。
• リンク上の関数 $f$ から導かれる一次方程式系の解として、組合せ的球面 $Y$ に対するコチェーン $h(Y)$ を定義する。このとき、値の二乗和を最小化する。
• 有理数係数のポントリャーギン類の多項式の局所的公式を結合するための、非可換かつ非可換な乗法 $\diamond$ をコチェーンに導入する。
• チェイン複体 $\mathcal{T}^*$ のコホモロジーにおいて、準同型 $\alpha^*$ が同型であることを証明し、$g(Y)$ の方程式系に対する正規解の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた向き付けられた組合せ的球面の多重集合が、ある向き付けられた組合せ的多様体の頂点リンクとして生じる条件は何か？
• RQ2 任意のバランスの取れた多重集合の組合せ的球面（$Z \mapsto -Z$ について閉じているもの）は、ペア $(Z, -Z)$ を加えることで、組合せ的多様体のリンク集合として実現可能か？
• RQ3 与えられた有理数係数のポントリャーギン類の多項式は、局所的な組合せ的公式によって実現可能か？
• RQ4 与えられた特異サイクル $\xi$ に対して、組合せ的多様体 $M$ と写像 $\varphi: M \to R$ を明示的に構成し、$\varphi_*[M] = r[\xi]$ となるようにできるか？

主な発見

• 任意のバランスの取れた向き付けられた組合せ的球面の同型類の多重集合は、複数重複させた集合に移行し、ペア $(Z, -Z)$ を加えることで、ある向き付けられた組合せ的多様体のリンク集合として実現可能である。
• この構成により、特異点をもつ多様体のコボルディズムの任意の有理数係数加法的不変量を、局所的公式によって明示的に実現するアルゴリズムが得られる。
• コチェーン上の乗法 $\diamond$ は、コホモロジー $\mathcal{T}^*(\mathbb{Q})$ に整合的な乗法を誘導し、有理数係数ポントリャーギン類の環構造と一致する。
• $\alpha^*$ は同型であるため、$\mathcal{T}^n(\mathbb{Q})$ の任意のコサイクルが $\mathcal{W}^n(\mathbb{Q})$ のコサイクルに引き上げられ、$g(Y)$ の方程式系が解けることが保証される。
• $f_1 \diamond f_2$ の値を球面 $Y$ で計算する手順は、コドメイン1次元およびコドメイン $k$ 次元単体のリンクデータのみを用いた一次方程式系の解法に帰着される。
• この構成により、組合せ的多様体の有理数係数ポントリャーギン類の多項式に対する明示的だが非効率な局所的組合せ的公式が得られる。