[論文レビュー] Construction of Complete Complementary Codes over Small Alphabet

Palash Sarkar, Chunlei Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Coding theory and cryptography被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、1より大きいすべての整数をカバーする任意の長さの完全補完的符号（CCCs）の新規な多変数関数ベースの構築法を提案する。2次一般化ブール関数の一般化により、小規模なアルファベット上で、柔軟な集合サイズとアルファベットパラメータを有するCCCの直接的かつ効率的な生成が可能となり、従来の2のべき長さに限る構築法の制限を克服する。

ABSTRACT

Complete complementary codes (CCCs) play a vital role not only in wireless communication, particularly in multicarrier systems where achieving an interference-free environment is of paramount importance, but also in the construction of other codes that necessitate appropriate functions to meet the diverse demands within today's landscape of wireless communication evaluation. This research is focused on the area of constructing $q$-ary functions for both of {traditional and spectrally null constraint (SNC) CCCs}\footnote{When no codes in CCCs having zero components, we call it as traditonal CCCs, else, we call it as SNC-CCCs in this pape.} of flexible length, set size and alphabet. We construct traditional CCCs with lengths, defined as $L = \prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$, set sizes, defined as $K = \prod_{i=1}^k p_i^{n_i+1}$, and an alphabet size of $q=\prod_{i=1}^k p_i$, such that $p_1

研究の動機と目的

• 既存の文献において、任意の長さの完全補完的符号（CCCs）の直接的構築法が不足しているという問題に取り組む。
• 反復的または間接的なシーケンス操作を回避することで、CCCsの効率的なハードウェア生成を可能にする。
• 特に実用的な無線通信および信号処理システムにおいて、2のべき長さに限らないCCCsの適用可能性を拡張する。
• 提案されたCCCsと新たに定義された線形符号の間の関係を確立し、さらなる理論的および実用的探求を可能にする。
• 一般化ブール関数およびパラユニタリ行列に基づく従来の構築法を、任意の合成長にまで一般化する。

提案手法

• 2次一般化ブール関数に基づく多変数関数フレームワークを導入し、CCCsの生成を実現する。
• 数学的帰納法を用いて、素数のべき長さから、$\prod_{i=1}^{k}p_i^{m_i}$ の形をした合成長へ構築を拡張する。
• 集合サイズを $\prod_{i=1}^{k}p_i^{n_i}$ と定義し、1より大きいすべての整数をカバーすることで、コードブックサイズにおける完全な柔軟性を確保する。
• 素数 $p_1, \dots, p_k$ の最小公倍数を用いてアルファベットサイズ $\lambda$ を決定し、コード構築における位相の柔軟性を実現する。
• 新たに定義された線形符号 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$ のコセット代表元を通じてCCCsを導出することで、符号理論との関連を確立する。
• $k=1$ かつ $p_1=2$ の場合、構築法がゴロウ・デイヴィス・ジェドワブ（GDJ）シーケンス生成器に還元されることを示し、既知の結果と整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1より大きいすべての整数長に対して、完全補完的符号の直接的構築が可能か？
• RQ2 任意の長さと柔軟な集合サイズを持つCCCsを生成するための多変数関数を体系的に設計する方法は？
• RQ3 提案されたCCCs構築法と新たに定義された線形符号 $\mathcal{C}_k(\lambda, r)$ の関係は？
• RQ4 本手法は、Kronecker積やPU行列分解などの間接的・反復的法よりも、ストレージおよび計算複雑度を低減した効率的なハードウェア生成を可能にするか？
• RQ5 線形符号 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$ には、新たな補完的シーケンスおよびより大きなコードブックを生成する可能性を秘めた、他のコセット代表元が存在するか？

主な発見

• 提案された構築法は、任意の正の整数 $k$、$m_i$、および素数 $p_i$ に対して、長さ $\prod_{i=1}^{k}p_i^{m_i}$ のCCCsを生成でき、1より大きいすべての整数をカバーする。
• 集合サイズは $\prod_{i=1}^{k}p_i^{n_i}$ であり、これも1より大きいすべての整数をカバーするため、コードブック次元における完全な柔軟性を確保する。
• アルファベットサイズは $\mathbb{Z}_\lambda$ で、$\text{lcm}(p_1, \dots, p_k) \mid \lambda$ を満たすことで、コード構築における位相の柔軟性を実現する。
• $k=1$ かつ $p_1=2$ の場合、構築法はゴロウ・デイヴィス・ジェドワブ（GDJ）シーケンス生成器に還元され、既存の結果と整合性を確認する。
• 複雑なシーケンス操作を回避でき、Kronecker積やPU行列分解などの間接的法よりも、より高速かつ効率的なハードウェア生成が可能になる。
• 提案されたCCCsと線形符号 $\mathcal{C}_k(\lambda, 2)$ の間に関係を確立し、補完的シーケンスがこの符号の特定のコセット代表元から生じることを示す。