[論文レビュー] Construction of Conformally Compact Einstein Manifolds

Dezhong Chen|ArXiv.org|Aug 11, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 33被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複素ディスク bundle の総空間が、ケーラー・アインシュタイン多様体の積上のホフプ・ファイブレーションを介して、閉じたアインシュタイン多様体をファイバー束にすることで、共形的コンパクトなアインシュタイン多様体の新しい明示的例を構成する。正則化体積および共形異常に関する計算を用いて、偶数次元および奇数次元における共形不変量の明示的公式を導出し、$Q$-曲率が消える新しいリーマン多様体積の例が得られる。

ABSTRACT

We produce some explicit examples of conformally compact Einstein manifolds, whose conformal compactifications are foliated by Riemannian products of a closed Einstein manifold with the total space of a principal circle bundle over products of Kahler-Einstein manifolds. We compute the associated conformal invariants, i.e., the renormalized volume in even dimensions and the conformal anomaly in odd dimensions. As a by-product, we obtain some Riemannian products with vanishing Q-curvature.

研究の動機と目的

• 双曲空間を超える非自明な幾何的構造を持つ、共形的コンパクトなアインシュタイン多様体の新しい明示的例を構成すること。
• これらの新しい多様体に対して、偶数次元における正則化体積および奇数次元における共形異常という共形不変量を計算すること。
• アインシュタイン多様体のリーマン多様体積が $Q$-曲率を消す条件を特定すること。
• ファノのケーラー・アインシュタイン多様体の積上の主円周バンドルを組み込み、ホフプ・ファイブレーションを収縮させることで、以前の構成を一般化すること。

提案手法

• $N \times \text{Tot}(\text{disc bundle})$ 上に共形的コンパクトなアインシュタイン計量を構成する。ここで $N$ は閉じたアインシュタイン多様体であり、ディスクバンドルはケーラー・アインシュタイン多様体の積上の主円周バンドルから生じる。
• ホフプ・ファイブレーション $S^{2n_1+1} \to \mathbb{C}P^{n_1}$ に対してブロー・ダウン手続きを適用し、複素ディスクバンドルの総空間を得る。
• 径方向座標 $\sigma$ とスケーリング関数 $\xi(\sigma)$ を用いて、共形境界付近での体積形式の漸近展開を導出する。
• $\kappa_1\sqrt{\alpha}$ と $\xi$ を含む微分方程式を用いて、$\sigma = 0$ における高階導関数を分析し、体積展開における定数項の計算を可能にする。
• 補題 5.4 と数学的帰納法を用いて、$\sigma = 0$ における $\xi$ の奇数階導関数が消えることを示し、体積展開における特定の項を排除する。
• 係数 $a_j$, $b_j$, $C_1$, $C_3$, $\kappa_1$, $s_*$, $\nu$ およびそれらが基本多様体の幾何に依存する明示的依存関係を含む公式を用いて、正則化体積を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ディスクバンドルがケーラー・アインシュタイン多様体の積上にあるようなリーマン多様体積に、共形的コンパクトなアインシュタイン計量を構成できる幾何的条件は何か？
• RQ2 非同型計量を有する偶数次元の共形的コンパクトなアインシュタイン多様体に対して、正則化体積を明示的に計算する方法は何か？
• RQ3 基本ケーラー・アインシュタイン多様体のアインシュタイン定数およびチャーン類は、このような計量の存在にどのような役割を果たすか？
• RQ4 アインシュタイン多様体のリーマン多様体積が $Q$-曲率を消すのはどのような場合か？
• RQ5 これらの新しい構成に対して、奇数次元における共形異常を明示的に計算できるか？

主な発見

• 本稿では、基本多様体のアインシュタイン定数およびチャーン類に関する条件下で、$N \times \text{Tot}(\text{disc bundle})$ 上に非同型の共形的コンパクトなアインシュタイン計量の1パラメータ族を構成する。
• 偶数次元における正則化体積の明示的公式は、$V(g) = \frac{C_1 C_3}{2\nu \kappa_1^p s_*^{p-1}} \left( \frac{\nu a_0}{1-p} + \sum_{j=1}^{m/2-1} \frac{\epsilon a_{j-1} + \nu a_j}{1-p+2j} s_*^{2j} + \frac{\epsilon}{1-n} s_*^m \right)$ として得られ、ここで $p = m+n$ である。
• $4$ 次元の双曲空間 $H^4$ に対して、正則化体積が明示的に $V(H^4) = \frac{4}{3}\pi^2$ として計算される。
• 本構成により、特定の曲率および位相的制約を満たす基本多様体が存在する場合に、$Q$-曲率が消える新しいリーマン多様体積の例が得られる。
• $(n_1+1)|q_i| > p_i$ という条件が、$N$ が負のスカラー曲率を持つ場合でも、一部の $V_i$ が非正のアインシュタイン定数を持つ場合でも計量の存在を保証する。
• 奇数次元における共形異常は、同じ枠組みを用いて暗黙的に計算され、偶数次元における正則化体積公式が主な不変量として機能する。