[論文レビュー] Construction of cyclic DNA codes over the Ring $\Z_4[u]/\langle u^2-1 angle $ Based on the deletion distance

Sukhamoy Pattanayak, Abhay Kumar Singh|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2016

DNA and Biological Computing参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、非チェーン環 $ R = \mathbb{Z}_4[u]/\langle u^2-1\rangle $ 上の奇数長の巡回DNA符号を、削除距離を指標として構築する。環の要素とDNA塩基対の間に1対1対応を確立し、符号の削除距離が $1+u$ で生成される部分符号の削除距離に等しいことを証明する。この結果、逆転および逆補数制約、最適なGC含量、誤り訂正能力を備えたDNA符号の効率的設計が可能になる。

ABSTRACT

In this paper, we develop the theory for constructing DNA cyclic codes of odd length over $R=\Z_4[u]/\langle u^2-1 angle$ based on the deletion distance. Firstly, we relate DNA pairs with a special 16 elements of ring $R$. Cyclic codes of odd length over $R$ satisfy the reverse constraint and the reverse-complement constraint are discussed in this paper. We also study the $GC$-content of these codes and their deletion distance. The paper concludes with some examples of cyclic DNA codes with $GC$-content and their respective deletion distance.

研究の動機と目的

• 非チェーン環 $ R = \mathbb{Z}_4[u]/\langle u^2-1\rangle $ 上の奇数長の巡回DNA符号を体系的に構築する理論的枠組みを構築すること。
• 不適切なハイブリダイゼーションを防ぐために、DNA符号が逆転および逆補数制約を満たすようにすること。
• DNAベースのコンピューティングにおける熱力学的安定性を確保するため、GC含量を分析および制御すること。
• ハミング距離よりも適切な指標である削除距離を定義し、DNA配列エラーのモデル化に用いること。
• 特定の長さ、GC含量、削除訂正能力を持つコードの明示的例を提示して構築法を示すこと。

提案手法

• 環 $ R = \mathbb{Z}_4[u]/\langle u^2-1\rangle $ の16要素とDNA塩基対 (A,T,G,C) の間に1対1対応 $ \theta $ を確立する。
• 奇数 $ n $ に対して、商環 $ R[x]/\langle x^n - 1 \rangle $ におけるイデアルとして、$ R $ 上の巡回DNA符号を定義する。
• 生成多項式が自己双対的であり、$ x^i g_2^*(x) = g_2(x) $ を満たすようにすることで、逆転制約を課す。
• 生成多項式 $ g_3(x) $ が $ (1+u)x^i g_2^*(x) + (1+u)g_2(x) $ を割り切ることで、逆補数制約を満たすようにする。ここで $ g_1(x) = g_2(x)f_1f_2 $ である。
• 写像 $ \Phi $ を用いて、$ R^n $ 上の符号を $ \{A,T,G,C\}^n $ 上のDNA配列に持ち上げ、構造的および距離的性質を保持する。
• 符号 $ C $ の削除距離 $ D $ が、$ 1+u $ で生成される部分符号 $ C_{1+u} $ の削除距離 $ D_{1+u} $ に等しいことを証明し、部分符号解析による効率的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非チェーン環 $ \mathbb{Z}_4[u]/\langle u^2-1\rangle $ 上の奇数長の巡回DNA符号を、逆転および逆補数制約を満たすように体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 符号の削除距離と、$ 1+u $ で生成される部分符号の削除距離との関係は何か？
• RQ3 環 $ R $ 上の巡回DNA符号におけるGC含量は、どのように制御・計算できるか？
• RQ4 環構造 $ \mathbb{Z}_4[u]/\langle u^2-1\rangle $ は、DNA符号の設計および誤り訂正能力にどのような影響を与えるか？
• RQ5 削除距離は、ハミング距離よりもDNA配列エラーのモデル化に有効な指標とみなせるか？

主な発見

• 環 $ R $ 上の巡回DNA符号 $ C $ の削除距離 $ D $ は、部分符号 $ C_{1+u} $ の削除距離 $ D_{1+u} $ に等しく、部分符号解析による効率的計算が可能である。
• 符号 $ C = \langle g_1(x) + (1+u)g_2(x), (1+u)g_3(x) \rangle $ に対して、削除距離 $ D $ は、生成多項式 $ g_3(x) $ から導かれる $ C_{1+u} $ の削除距離に依存する。
• 例6.1では、16語のコドワード、最小ハミング距離3、削除距離 $ D=2 $ の $(6,2)$ DNA巡回符号を示し、最大1つの削除エラーを訂正可能である。
• 例6.2では、16語のコドワード、最小ハミング距離9、削除距離 $ D=8 $ の$(18,8)$ DNA巡回符号を提示し、最大8つの削除エラーを訂正可能である。
• GC含量は写像 $ \Phi $ によって保存され、熱力学的安定性を確保するため、均一または制御されたGC含量を持つ符号を設計可能である。
• 構築された符号は逆転および逆補数制約を両方満たしており、コドワードが自身の逆転または逆補数と等しくならないことを保証し、不適切なハイブリダイゼーションを防止する。