[論文レビュー] Construction of dendriform trialgebras

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2005

Advanced Topics in Algebra被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、無限個の変数における非可換多項式環の部分三重代数として、1つの生成元上の自由 dendriform 三重代数を構成する。この代数は、packed word および平面木を用いて実現され、その構造が自由で自己双対的かつ bidendriform な双代数であり、sylvester 同値関係による NCQSym の商と同型であることが証明される。

ABSTRACT

We realize the free dendriform trialgebra on one generator, as well as several other examples of dendriform trialgebras, as sub-trialgebras of an algebra of noncommutative polynomials in infinitely many variables.

研究の動機と目的

• 非可換多項式を用いて、1つの生成元上の自由 dendriform 三重代数の明示的な代数的実現を提供すること。
• この実現が、非可換 quasi-symmetric 関数代数 (NCQSym) における sylvester 同値関係による商と同型であることを確立すること。
• 構成された代数が、自由で自己双対的かつ bidendriform な双代数であり、自由な原始的 Lie 代数を持つことを証明すること。
• 平面木、packed word、パーキング関数などの組合せ的対象とこの構造を結びつけること。
• 双対代数の同次成分が、パーキング関数の内部積に関して Solomon-Tits 代数と同型であることを示すこと。

提案手法

• A を無限大の全順序アルファベットとするとき、自由な結合代数 K⟨A⟩⁺ の部分三重代数として自由 dendriform 三重代数を実現する。
• 最大の文字とその出現に基づく再帰的な木構造を用いて、語に対して3つの二項演算 ≺, ∘, ≻ を定義する。
• 語を標準形にまとめるために tass 演算を導入し、同じ packed 形式を持つ語の和として基底元 Mu を定義する。
• Mu の span として NCQSym を構成し、MQSym の Hopf 部分代数であり、パーキング関数の内部積に関して安定であることを示す。
• Foissy の bidendriform 双代数理論を用いて、NCQSym、T、PQSym、MQSym がすべて bidendriform 双代数であることを証明し、自由性と自己双対性を示す。
• detass（最大の展開）写像を用いて、自由 dendriform 三重代数と NCQSym における sylvester 同値関係による商との同型を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの生成元上の自由 dendriform 三重代数は、非可換多項式代数の中でどのように明示的に実現できるか？
• RQ2 平面木、packed word の組合せ論と自由 dendriform 三重代数の構造の関係は何か？
• RQ3 packed word によって生成される代数 NCQSym は bidendriform 双代数であり、Hopf 代数として自己双対的か？
• RQ4 自由 dendriform 三重代数は、sylvester 同値関係のような既知の同値関係による NCQSym の商として実現可能か？
• RQ5 NCQSym の双対の同次成分は、パーキング関数の内部積に関して Solomon-Tits 代数と同型か？

主な発見

• 1つの生成子上の自由 dendriform 三重代数は、sylvester 同値関係による NCQSym の商と同型であり、非可換多項式の中で明示的な実現が得られる。
• K⟨A⟩⁺ におけるすべての変数の和によって生成される部分三重代数 T は、dendriform 三重代数として自由であり、平面木（little Schröder 数で数えられる）によって添字づけられる基底を持つ。
• Mu 基底で張られる代数 NCQSym は bidendriform 双代数であり、自己双対的であり、detass 写像を介して PQSym に埋め込まれた双対を有する。
• 同次成分 NCQSymₙ* は、パーキング関数の内部積に関して Solomon-Tits 代数と同型である。
• 代数 MQSym も bidendriform 双代数であり、dendriform 三重代数でもあり、その自己双対性と自由性を説明する。
• 平面木 T に対応する基底元 MT は、T = T(u) を満たすすべての packed word u における Mu の和に等しく、木と語の間の組合せ的対応を確立する。