[論文レビュー] Construction of directed strongly regular graphs using finite incidence structures

Oktay Ölmez, Sung‐Yell Song|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、有限の構造的配置（特に群可除設計における非共通点・ブロック対および部分幾何における反フラグ）を用いて、新しい無限族の有向強正則グラフを構成する。主な貢献は、(36,12,5,2,5)、(54,18,7,4,7)、(72,24,10,4,10)、(96,24,7,3,7)、(108,36,14,8,14)、(108,36,15,6,15) といった、以前は可能であるとされていたが構成されていなかったパラメータ集合を実現し、組合せ的構成によりそれらの存在を示したことにある。

ABSTRACT

We use finite incident structures to construct new infinite families of directed strongly regular graphs with parameters \[(l(q-1)q^l,\ l(q-1)q^{l-1},\ (lq-l+1)q^{l-2},\ (l-1)(q-1)q^{l-2},\ (lq-l+1)q^{l-2})\] for integers $q$ and $l$ ($q, l\ge 2$), and \[(lq^2(q-1),\ lq(q-1),\ lq-l+1,\ (l-1)(q-1),\ lq-l+1)\] for all prime powers $q$ and $l\in \{1, 2,..., q\}$. The new graphs given by these constructions have parameters $(36, 12, 5, 2, 5)$, $(54, 18, 7, 4, 7)$, $(72, 24, 10, 4, 10)$, $(96, 24, 7, 3, 7)$, $(108, 36, 14, 8, 14)$ and $(108, 36, 15, 6, 15)$ listed as feasible parameters on "Parameters of directed strongly regular graphs," at ${http://homepages.cwi.nl/^\sim aeb/math/dsrg/dsrg.html}$ by S. Hobart and A. E. Brouwer. We review these constructions and show how our methods may be used to construct other infinite families of directed strongly regular graphs.

研究の動機と目的

• 非可除設計における非共通点・ブロック対や反フラグといった有限の構造的配置を用いて、新しい無限族の有向強正則グラフを構成すること。
• 有向強正則グラフのパラメータ集合のうち、以前にリストアップされてはいたが構成されていなかったものについて、その可能性を実証すること。
• 特に反フラグを活用することで、可除設計および部分幾何を用いた既存の構成を拡張し、新たなグラフ族を生成すること。
• 今後の構造的配置の有向強正則グラフへの応用を促進するためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 整数 q ≥ 2 および l ≥ 2 に対して、群可除設計 GD(l, q^{l-2}, q; ql) の非共通点・ブロック対の集合上に有向強正則グラフを構成する。
• 点 x がブロック S' に属するかどうかに基づいて、ペア (x,S) と (x',S') 間の辺を定義し、特定のパラメータを持つ有向グラフを形成する。
• アフィン平面から導かれる部分幾何の反フラグを用いて、パラメータ (lq²(q−1), lq(q−1), lq−l+1, (l−1)(q−1), lq−l+1) の第二の有向強正則グラフ族を構成する。
• l 個の互いに素な q 要素の部分集合を持つ分割に基づく構造的配置を用い、パラメータ (ql(l−1), q(l−1), q, 0, q) の追加の二つの族を生成する。また、別の族はパラメータ (ql(l−1), 2q(l−1)−1, ql−1, ql−2, 2q) を持つ。
• 隣接行列の条件 A² = tI + λA + μ(J−I−A) および JA = AJ = kJ を用いて、有向強正則グラフの性質を検証する。
• 命題 1.1 を用いて、J_m とのテンソル積による既知のグラフのスケーリングを行い、より大きなグラフのパラメータ集合を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群可除設計における非共通点・ブロック対を用いて、新しい無限族の有向強正則グラフを構成できるか？
• RQ2 特にアフィン平面から導かれる部分幾何の反フラグは、以前に構成されていなかったが可能なパラメータを持つ新たな有向強正則グラフを生じるか？
• RQ3 点とブロックの分割された構造的配置といった退化した構造的配置は、新たな有向強正則グラフ族を生成できるか？
• RQ4 フラグを越えて、可除設計や部分幾何のような構造的配置が、有向強正則グラフの構成において果たす役割は何か？
• RQ5 組合せ的構造的配置を用いて、既存の構成を拡張または一般化することで、新たなパラメータ集合を実現する方法は何か？

主な発見

• GD(l, q^{l-2}, q; ql) の非共通点・ブロック対を用いた構成により、整数 q ≥ 2 および l ≥ 2 に対して、パラメータ (l(q−1)q^l, l(q−1)q^{l−1}, (lq−l+1)q^{l−2}, (l−1)(q−1)q^{l−2}, (lq−l+1)q^{l−2}) の有向強正則グラフが得られる。
• この構成により、q=3 かつ l=2 のとき (36,12,5,2,5) が実現され、q=2 かつ l=4 のとき (96,24,7,3,7) が実現される。
• アフィン平面の部分幾何の反フラグを用いた構成により、パラメータ (lq²(q−1), lq(q−1), lq−l+1, (l−1)(q−1), lq−l+1) のグラフが得られ、q=3 かつ l=2 のとき (54,18,7,4,7) が実現され、命題 1.1 を用いて (108,36,14,8,14) が実現される。
• 分割された点とブロックに基づく第三の構成により、パラメータ (ql(l−1), q(l−1), q, 0, q) のグラフが得られ、すべての l ≥ 2 および q ≥ 2 に対してそれが一意に特定される。
• 第四の構成により、パラメータ (ql(l−1), 2q(l−1)−1, ql−1, ql−2, 2q) のグラフが得られ、これはガドソン、ホーバート、マーティンによって以前に構成された族と一致するが、本稿では新しい構造的配置に基づく方法で得られている。
• 本稿は、ホバートとブルーワーのデータベースにリストアップされた六つの特定の可能なパラメータ集合、特に (108,36,15,6,15) について、それに対応する明示的なグラフを構成することで、それらの存在を確認した。