[論文レビュー] Construction of eigenfunctions for scalar-type operators via Laplace averages with connections to the Koopman operator

Ryan Mohr, Igor Mezić|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Model Reduction and Neural Networks参考文献 21被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、非ユニタリでスカラー型のスペクトル作用素に対して、固有関数を計算するためのフーリエ平均の一般化としてラプラシアン平均を導入する。非可逆的で散逸的力学系におけるコプマン作用素が、ノルム環上の多項式空間の完備化上でスペクトル的であることを確立し、ユニタリ系に限らないスペクトル理論の拡張を実現し、関数解析的手法によるグローバル・コプマンモード解析を可能にする。

ABSTRACT

This paper extends Yosida's mean ergodic theorem in order to compute projections onto non-unitary eigenspaces for spectral operators of scalar-type on locally convex linear topological spaces. For spectral operators with dominating point spectrum, the projections take the form of Laplace averages, which are a generalization of the Fourier averages used when the spectrum is unitary. Inverse iteration and Laplace averages project onto eigenspaces of spectral operators with minimal point spectrum. Two classes of dynamical systems --- attracting fixed points in $\mathbb{C}^{d}$ and attracting limit cycles in $\mathbb{R}^{2}$ --- and their respective spaces of observables are given for which the associated composition operator is spectral. It is shown that the natural spaces of observables are completions with an $\ell^{2}$ polynomial norm of a space of polynomials over a normed unital commutative ring. These spaces are generalizations of the Hardy spaces $H^{2}(\mathbb{D})$ and $H^{2}(\mathbb{D}^{d})$. Elements of the ring are observables defined on the attractor --- the fixed point or the limit cycle, in our examples. Furthermore, we are able to provide a (semi)global spectral theorem for the composition operators associated with a large class of dissipative nonlinear dynamical systems; any sufficiently smooth dynamical system topologically conjugate to either of the two cases above admits an observable space on which the associated Koopman operator is spectral. It is conjectured that this is generically true for systems where the basin of attraction can be properly "coordinatized".

研究の動機と目的

• 局所凸空間における非ユニタリでスカラー型作用素へ、ヨシダの平均的エルゴード定理を拡張すること。
• 非線形で散逸的力学系におけるコプマン作用素の固有関数を構成するための関数解析的枠組みを構築すること。
• コプマン作用素がスペクトル的となる自然な観測関数空間（ノルム単位可換環上の多項式環の完備化）を同定すること。
• 線形化可能な吸引的ダイナミクスに位相的同相な系に対して、コプマン作用素の（準）グローバルスペクトル定理を確立すること。
• ラプラシアン平均と多項式近似を用いたデータ駆動型スペクトル解析の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 非ユニタリ固有空間への射影に一般化されたフーリエ平均としてのラプラシアン平均を活用し、スペクトル作用素の非ユニタリ固有空間に射影する。
• 観測関数空間を、吸引子上でのバナッハ空間に値をとるノルム単位可換環上の多項式環の完備化として構築する。
• スカラー型作用素のスペクトル定理を、吸引的固定点および極限円周に関連するコプマン作用素に適用する。
• 位相的同相性を用いて、線形化された系から非線形系へスペクトル構造を移行させ、コプマン作用素のスペクトル的性質を保存する。
• 係数が複素数ではなく、吸引子上のバナッハ空間に値をとる一般化されたハーディー空間枠組みを導入する。
• 離散ラプラシアン変換、クリロフ法、指示関数の多項式近似を用いたデータ駆動型数値的手法を提案し、スペクトル射影を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 散逸的系における非ユニタリスペクトルをもつスペクトル作用素に対して、ラプラシアン平均を用いて固有関数を構成できるか？
• RQ2 吸引的固定点および極限円周に対して、コプマン作用素がスペクトル的となる自然な観測関数空間は何か？
• RQ3 関数解析的手法を用いて、ユニタリダイナミクスを超えてコプマン作用素のスペクトル分解をどのように拡張できるか？
• RQ4 非線形系のスペクトル構造は、線形化された系との同相性と観測関数の多項式完備化を用いて、どの程度回復可能か？
• RQ5 非線形系におけるコプマン作用素がスペクトル的となる条件は何か。また、より広範な散逸的系のクラスへ一般化可能か？

主な発見

• ラプラシアン平均は、非ユニタリスペクトルをもつスペクトル作用素の固有空間への射影に有効であり、ユニタリ系に対するフーリエ平均の一般化として正当化される。
• ℂ^d における吸引的固定点に対応するコプマン作用素は、吸引子上での観測関数のノルム単位可換環上の多項式空間の完備化上でスペクトル的である。
• ℝ² における極限円周に対応するコプマン作用素は、円周上の関数のバナッハ空間に係数をとる同様の多項式観測関数空間上でスペクトル的である。
• 観測関数空間は、一般化されたハーディー空間として特定され、係数が複素数ではなく、分離可能で弱反射的バナッハ空間に値をとる。
• 吸引域に適切な座標化が存在する限り、2つのモデルケース（吸引的固定点および極限円周）に位相的同相な系に対して、（準）グローバルスペクトル定理が確立される。
• 本稿では、任意の有界な吸引子と座標化可能な吸引域をもつ系に対して、自然な観測関数空間が、吸引子の観測関数のノルム環上の多項式の完備化であると予想する。