[論文レビュー] Construction of Exact Control for a One-Dimensional Heat Equation with Delay

D. Ya. Khusainov, Michael Pokojovy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、制御関数の明示的表現を用いて、1次元熱方程式の下位および最高位の項に遅れを含む場合の正確な可制御性を確立する。位相シフトを用いた変換と遅れ付き指数関数を用いることで、著者たちはフーリエ級数解を導出し、データの十分なソボレフ正則性のもとで、系を所望の最終状態に誘導する制御を構成する。解および制御の古典的正則性が保証される。

ABSTRACT

We prove an exact controllability result for a one-dimensional heat equation with delay in both lower and highest order terms and nonhomogeneous Dirichlet boundary conditions. Moreover, we give an explicit representation of the control function steering the system into a given final state. Under certain decay properties for corresponding Fourier coefficients which can be interpreted as a sufficiently high Sobolev regularity of the data, both control function and the solution are proved to be regular in the classical sense both with respect to time and space variables.

研究の動機と目的

• 下位および最高位の項に離散遅れを含む1次元熱方程式の正確な可制御性を確立すること。
• 系を所望の最終状態に誘導する制御関数の明示的表現を提供すること。
• 初期データ、境界データ、および外力データの十分なソボレフ正則性のもとで、解および制御が古典的（滑らか）であることを保証すること。
• 遅れ付き指数関数とフーリエ級数分解を用いて、遅れを含む分布化系に対する解析的ツールを拡張すること。

提案手法

• 1階項を消去するために、元の式を位相シフト $ v(x,t) = e^{ u x} u(x,t) $ で変換し、遅れ付き2階項を含む形に問題を簡略化する。
• 時間遅れ付きダイナミクスを扱うために、遅れ付き指数関数 $ \exp_{\tau}(D,t) $ を導入する。
• 解を $ \sin(\pi n x / l) $ におけるフーリエ級数として表現し、遅れ付き指数関数および初期・境界データを含む積分から係数を導出する。
• 最終状態条件を満たすために積分方程式を導出し、制御のフーリエ係数に関する解ける方程式を得る。
• 制御の形を $ e^{-L_n(T-t)} $ を含むものと仮定することで、積分方程式を解き、制御係数の明示的公式を得る。
• 恒等式 $ \int_{-\tau}^{T-\tau} \exp_{\tau}(D_n,t) dt = \frac{1}{D_n}(\exp_{\tau}(D_n,T) - 1) $ を用いて積分方程式を逆転させ、制御係数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下位および最高位の項に遅れを含む1次元熱方程式について、正確な可制御性を達成できるか？
• RQ2 系を所望の最終状態に誘導する制御関数の明示的表現が可能か？
• RQ3 データの正則性条件がどのようなものであれば、制御および解が時間的・空間的に古典的（滑らか）に保たれるか？
• RQ4 遅れ付き指数関数を用いて、分布遅れを含む放物型方程式をどのように解けるか？
• RQ5 空間微分項および状態に遅れが存在する場合、解および制御のフーリエ級数展開における構造はいかなるものか？

主な発見

• 本稿では、データの十分なソボレフ正則性のもとで、下位および最高位の項に遅れを含む1次元熱方程式について、正確な可制御性が証明されている。
• 制御関数の明示的公式が $ U(x,t) = \sum_{n=1}^\infty U_n(t) \sin(\pi n x / l) $ の形で得られ、$ U_n(t) = e^{-L_n(T-t)} \frac{R_n(T) D_n}{\exp_{\tau}(D_n,T) - 1} $ である。
• データのフーリエ係数が十分に速く減衰する場合（高次のソボレフ正則性に対応）、解および制御が時間的・空間的に古典的（滑らか）であることが示された。
• 制御構成は、1階項を消去するための変換と、遅れ付き指数関数による遅れ付き偏微分方程式の解表現に依存している。
• 鍵となる恒等式 $ \int_{-\tau}^{T-\tau} \exp_{\tau}(D_n,t) dt = \frac{1}{D_n}(\exp_{\tau}(D_n,T) - 1) $ により、制御の積分方程式が逆転可能となり、制御係数が得られる。
• 最終状態条件から $ R_n(T) = \Psi_n - s_{1n}(T) - s_{2n}(T) - m_n(\mu_1,\mu_2)(T) $ が得られ、各フーリエモードにおける必要な制御振幅が決定される。