[論文レビュー] Construction of invariant whiskered tori by a parameterization method. Part I: Maps and flows in finite dimensions

Ernest Fontich, Rafael de la Llave+1 more|ArXiv.org|Mar 2, 2009

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、正確なシンプレクティック写像および流れにおける不変ホイッスラー付きトーラスの存在を、不変性の関数方程式を解くa posteriori法に基づくものとして確立する。任意の十分に精度の高い近似解が非退化条件を満たしていれば、真の解に近いことが保証されるため、可積分性や作用角変数の仮定を避けられ、主なトーラスと二次的トーラスを一様に取り扱える。一般の双曲的バンドルに対しても適用可能である。

ABSTRACT

We present theorems which provide the existence of invariant whiskered tori in finite-dimensional exact symplectic maps and flows. The method is based on the study of a functional equation expressing that there is an invariant torus. We show that, given an approximate solution of the invariance equation which satisfies some non-degeneracy conditions, there is a true solution nearby. We call this an {\sl a posteriori} approach. The proof of the main theorems is based on an iterative method to solve the functional equation. The theorems do not assume that the system is close to integrable nor that it is written in action-angle variables (hence we can deal in a unified way with primary and secondary tori). It also does not assume that the hyperbolic bundles are trivial and much less that the hyperbolic motion can be reduced to constant. The a posteriori formulation allows us to justify approximate solutions produced by many non-rigorous methods (e.g. formal series expansions, numerical methods). The iterative method is not based on transformation theory, but rather on succesive corrections. This makes it possible to adapt the method almost verbatim to several infinite-dimensional situations, which we will discuss in a forthcoming paper. We also note that the method leads to fast and efficient algorithms. We plan to develop these improvements in forthcoming papers.

研究の動機と目的

• 有限次元の正確なシンプレクティック写像および流れにおける不変ホイッスラー付きトーラスの存在を証明すること。
• 系が可積分に近いことや作用角変数で記述されていることを仮定しない一般枠組みを構築すること。
• 主なトーラスと二次的トーラスを一様に取り扱い、ランク1共振近辺のトーラスも含むこと。
• 数値的または形式的手段から得られる近似解に対して、きめ細やかな妥当性を保証する強固な手法を確立すること。
• この手法を無限次元系へ拡張する基盤を提供すること。

提案手法

• 写像では不変性方程式 $ F \circ K = K(\theta + \omega) $、流れでは $ \partial_\omega K = J \nabla H(K) $ を、反復的ニュートン型スキームにより解く。
• 近似解 $ K_0 $ が不変性方程式を小さな誤差 $ E_0 $ まで満たすものと仮定するパラメトリゼーション法を用いる。
• 線形化方程式の可解性を保証するため、スペクトル的およびねじれ条件といった非退化条件を近似解に課す。
• 線形化方程式は中心部分空間および双曲的部分空間に別々に解き、ディオファントス周波数の仮定により小分母を扱う。
• 反復的補正プロセスは双曲的性質および非退化性を保ち、真の解への収束を保証する。
• 変換理論に依存するのではなく、逐次的補正に依存するため、無限次元設定への適応が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可積分性や作用角変数の仮定をせず、有限次元シンプレクティック系において不変ホイッスラー付きトーラスを構成可能か？
• RQ2 数値的または形式的手段から得た近似解を、真の不変トーラスに近いと厳密に検証する方法は何か？
• RQ3 小分母が存在する状況で、近似解の近くに真の解が存在するための非退化条件は何か？
• RQ4 本手法はランク1共振近辺の二次的トーラスおよび非自明な安定・不安定バンドルを扱えるか？
• RQ5 不変トーラスの正則性およびパラメータ依存性（例：解析的、リプシッツ）は、どのような性質を示せるか？

主な発見

• 近似解 $ K_0 $ の誤差 $ \|E_0\|_{\rho_0} $ が十分に小さい、具体的には $ C\kappa^4\delta^{-4\nu}\|E_0\|_{\rho_0} < 1 $ であれば、より小さい領域 $ \rho_\infty = \rho_0 - 6\delta $ 内に真の解 $ K_\infty $ が存在する。
• 真の解と近似解の距離は $ \|K_\infty - K_0\|_{\rho_\infty} \leq C\kappa^2\delta^{-2\nu}\|E_0\|_{\rho_0} $ を満たし、収束速度が定量的に評価される。
• 本手法は写像および流れの両方に適用可能であり、一般の正確なシンプレクティック枠組みからハミルトニアン系の結果が導かれる。
• 双曲的バンドルが自明でなく、双曲的運動が定数でなくてもよいという仮定を必要とせず、一般の安定・不安定方向を扱える。
• 系が可積分に近くない場合でも不変トーラスの存在が保証され、二次的トーラスや共振構造の取り扱いが可能になる。
• 正則性のブートストラップが可能であり、パラメータに対するリプシッツ的および解析的依存性が保証され、周波数の集合に対する明示的な測度推定が得られる。