[論文レビュー] Construction of isolated left orderings via partially central cyclic amalgamation

Tetsuya Ito|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2011

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特に中心が自明な群で正の錐が有限生成であるような群の孤立左順序を生成するための新しい構成法——部分的に中心的な巡回結合——を導入する。既知の孤立順序をもつ群を、非中心的で cofinal な要素を接続子として用いて結合することで、新たな例が得られ、特にパラメータが相異なる場合、$2(m-1)!$ 個の異なる $G$-軌道と $(m-1)!$ 個の異なる $\textrm{Aut}(G)$-軌道を有する孤立順序が得られる。

ABSTRACT

We give a new method to construct isolated left orderings of groups whose positive cones are finitely generated. Our construction uses an amalgamated free product of two groups having an isolated ordering. We construct a lot of new examples of isolated orderings, and give an example of isolated left orderings having various properties which previously known isolated orderings do not have.

研究の動機と目的

• 群における孤立左順序の一般的構成法を発展させること、特に正の錐が有限生成であるようなものに焦点を当てる。
• 真の孤立左順序の既知の例の少なさ、特に中心が自明な群においてその問題を解決すること。
• 既存の構成を拡張し、結合自由積において非中心的で cofinal な要素を組み込むこと。
• 群作用および自己同型群作用における孤立順序の軌道構造を調査し、その多様性を定量化すること。

提案手法

• 2つの群 $G_1$ および $G_2$ の部分的に中心的な巡回結合を用いる。両者とも孤立左順序を備える。
• 一方の因子群 $H$ に、非中心的で $<_{G}$-cofinal な要素 $z_H$ を選び、結合要素として用いる。
• 定理 1.1 を適用して、孤立左順序をもつ新しい群 $G = G_1 *_H G_2$ を構成し、その正の錐が有限生成であることを保証する。
• 乗法による右不変性を $z_H$ および $z_H^k$ に対して用い、結果として得られる錐の正の性質を保証する。
• 新たな生成元を用いて得られた群を再表現し、自明な中心などの構造的性質を明らかにする。
• 群 $G$ および $ extrm{Aut}(G)$ が $ extrm{LO}(G)$ に作用するのを分析し、最小の正の元を用いて、孤立順序の異なる軌道の数を数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心が自明な群において、結合自由積を用いて孤立左順序を体系的に構成できるか？
• RQ2 同一の構成法から、孤立順序の $G$-軌道は最大で何個まで存在しうるか？
• RQ3 非中心的で cofinal な要素の選択が、得られる順序の孤立性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 自己同型群の作用は、群作用の軌道を超えて、孤立順序の多様性を明らかにできるか？
• RQ5 結合過程において、孤立性および正の錐の有限生成性が保存される条件は何か？

主な発見

• この構成により、孤立左順序をもつ中心が自明な群 $H_{p,q,m,n} = \big\bracevert a,b,c \big\bracevert b^m = c^n, a^p = (bc)^q \big\}$ が得られる。
• 群 $H_{p,q,m,n}$ の孤立左順序の正の錐は $\{a(bc)^{1-q}, bc^{1-n}, c\}$ によって生成され、有限生成であることが確認される。
• 無限巡回群 $m$ 個が共通の要素を共有して結合された群 $G$ に対して、少なくとも $2(m-1)!$ 個の異なる $G$-軌道の孤立順序が存在する。
• すべての $a_i$ が相異なるとき、自己同型群 $\textrm{Aut}(G)$ は $\textrm{LO}(G)$ に作用し、孤立順序から生じる少なくとも $(m-1)!$ 個の異なる軌道を有する。
• この方法は既知の例を一般化する：ダブルビナ＝ダブルビンの順序および $\mathbb{Z}*_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}$ の順序は、特別な場合として回復される。
• この構成により、孤立順序が自明な中心をもつ群に存在しうることを示し、このような群の既知の構造のギャップを解消する。