[論文レビュー] Construction of Kuranishi structures on the moduli spaces of pseudo holomorphic disks: II

Kenji Fukaya, Yong‐Geun Oh+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2018

Advanced Algebra and Geometry被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、境界およびコーナーにおける整合性を保証するように、擬全純ディスクのモジュライ空間にKuranishi構造の整合性のある体系を、ディスク成分ごとの障害バンドルデータを用いて構築する。この体系の存在および一意性（擬同倫型まで）を確立し、ラグランジュフローリアンホモロジーにおける$A_\infty$構造を定義するための体系的枠組みを提供する。

ABSTRACT

This is the second of a series of two articles in which we provide detailed and self-contained account of the construction of a system of Kuranishi structures on the moduli spaces of pseudo holomorphic disks. Using the notion of obstruction bundle data introduced in [FOOO8], we give a systematic way of constructing a system of Kuranishi structures on the moduli spaces of pseudo holomorphic disks which are compatible at the boundary and corners. More specifically, it defines a tree like K-system in the sense of [FOOO6, Definition 21.9]. The method given in this paper does not only simplify the description of the constructions in the earlier literature, but also is designed to provide a systematic utility tool for the construction of a system of Kuranishi structures in the future research. We also establish its uniqueness.

研究の動機と目的

• 擬全純ディスクのモジュライ空間に、境界およびコーナーで整合性を持つKuranishi構造の体系を構築すること。
• 障害バンドルデータを用いた、再利用可能な体系的で明確な方法を提供し、従来の構成を簡略化すること。
• ディスク成分ごとの障害バンドルデータの体系の存在および一意性（擬同倫型まで）を確立すること。
• 境界の分解が低次元のモジュライ空間のファイバー積として表されるのと整合することを保証すること。
• 開の場合の整合性問題を解消することで、ラグランジュフローリアンホモロジーにおけるwell-definedな$A_\infty$構造の構成を支援すること。

提案手法

• 各モジュライ空間$\mathcal{M}_{k+1}(X,L;\beta)$に対して、特定の整合性条件を満たす障害データを割り当てる『ディスク成分ごとの障害バンドルデータの体系』という概念を導入する。
• 内部のマークドポイントによる安定化を用いて幾何を制御し、障害バンドルデータの反復的構成を可能にする。
• 準分割列およびその同値類を用いて、障害バンドルデータの局所モデルを定義する。
• 準成分$\widehat{\mathscr{QC}}_{k+1,\ell}(X,L,\mathcal{J};\beta)$の空間を定義し、Hausdorff位相を導入して適切な構造を保証する。
• 準成分上に有限個の障害バンドルの和を構成し、ディスク成分ごとの障害バンドルデータの体系を定義する。
• 擬同倫理論を適用して、異なる障害バンドルデータから構成された体系間の擬同倫が存在することを示し、結果として得られるKuranishi構造の一意性（同値性まで）を証明する。コラーディング構造を用いて接合を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界およびコーナーにおいて、擬全純ディスクのモジュライ空間に整合性のあるKuranishi構造の体系を体系的にどのように構築できるか。
• RQ2 個々のモジュライ空間における障害バンドルデータが、どのようにして一貫性のあるグローバルな体系に統合されるかを保証する条件は何か。
• RQ3 得られるKuranishi構造は擬同倫型まで一意的か。また、この一意性は$A_\infty$構造の構成にどのように寄与するか。
• RQ4 この構成は、ほぼ複素構造の選択に依存しないか。
• RQ5 準分割列および準成分は、モジュライ空間の異なるストラタにわたる障害データの整理にどのような役割を果たすか。

主な発見

• すべてのモジュライ空間$\mathcal{M}_{k+1}(X,L;\beta)$に対して、境界の分解と整合するディスク成分ごとの障害バンドルデータの体系が存在する。
• このような体系は、式 (1.1) で述べられる境界のファイバー積分解と整合するツリー型KシステムのKuranishi構造を生じる。
• 構成は、ほぼ複素構造の選択に依存しない（擬同倫型まで）。これにより、得られる$A_\infty$構造の頑健性が保証される。
• 得られるKuranishi構造は、異なる障害バンドルデータから構成された体系間の擬同倫が存在することにより、擬同倫型まで一意的である。
• 本手法は、将来の他のモジュライ空間におけるKuranishi構造の構成に再利用可能な体系的でモジュラーな枠組みを提供する。
• ほぼ複素構造がコラーディングであるとき、構成は明示的にコラーディングであることが保証され、オープン・グロモフ＝ウィトテン理論などの応用において滑らかな接合が可能になる。