[論文レビュー] Construction of low-dimensional system reproducing low-Reynolds-number turbulence by machine learning

Masaki Shimizu, Genta KAWAHARA|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2018

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、平面コウエット流れにおける低レイノルズ数乱流を正確に再現する低次元動的システムを構築するための機械学習的手法を提案する。直接数値シミュレーション（DNS）データを用いてカーネル分位数回帰により訓練することで、運動エネルギーおよび渦度量などの物理的に意味のある変数の少数に対して正確な写像関数を導出し、最小限の誤差で乱流軌道および主要な流れ量を高精度かつ計算コストが低い方法で予測可能となる。

ABSTRACT

In a dissipative system, there exists the (global) attractor which has finite fractal dimensions. The flow on the attractor can be parametrized by a finite number of parameters (Temmam 1987). Using machine learning we demonstrate how to construct precise low-dimensional governing equations which are valid in some range of Reynolds number for low-Reynolds-number turbulence in plane Couette flow.

研究の動機と目的

• 平面コウエット流れにおける低レイノルズ数乱流のアトラクター力学を正確に再現するデータ駆動型の低次元動的システムを開発すること。
• 有限個の物理的に関連のある変数（例：運動エネルギー、渦度量）が、乱流アトラクターを完全にパラメータ化できることを示すこと。
• 直接数値シミュレーション（DNS）と比較して大幅に計算コストを削減した状態で、乱流軌道および流れ量の高精度な予測を可能にすること。
• 主要な物理量（例：渦度量）と低次元状態変数との間の関数的関係を解明し、位相空間構造を明らかにすること。

提案手法

• 圧縮性でないナビエ＝ストークス方程式の周期的ボックス内における直接数値シミュレーション（DNS）から訓練データを生成する。
• 系の状態はM個の空間平均変数（例：$E_y = \langle u_y^2 \rangle_{xyz}$, $E_z = \langle u_z^2 \rangle_{xyz}$, $I = \langle \Delta \mathbf{u}^2 \rangle_{xyz}$, $W = \text{全渦度量}$）で表現される。
• Rパッケージkernlabを用いたカーネル分位数回帰（kqr）を用いた複数回帰により低次元写像を構築し、正則化パラメータ$C$を$[100, 1000]$の範囲で最適化する。
• 離散時間ステップにおける次の状態を予測する写像$X_i^{n+1} = \tilde{F}_i(X_1^n, \dots, X_M^n)$を学習する。
• 同一の初期条件を有するテストセットにおいて、予測された軌道（例：渦度量$W$）をDNSデータと比較することでモデルを検証する。
• 位相空間解析を可能にするために、状態変数の関数としての渦度量の関数的関係$\tilde{W}(E_x, E_y, E_z, I)$を学習する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直接数値シミュレーション（DNS）データから、平面コウエット流れにおける低レイノルズ数乱流のアトラクター力学を正確に再現する低次元動的システムを構築可能か？
• RQ2 高精度で乱流アトラクターをパラメータ化するために必要な最小限の物理的に意味のある変数の組み合わせは何か？
• RQ3 少数の状態変数のみを用いて、機械学習が長期的な乱流軌道および主要な流れ量（例：渦度量）をどの程度正確に予測可能か？
• RQ4 低次元系におけるエネルギー、渦度量、入力の関数として渦度量を表現した際の位相空間の構造はいかなるものか？
• RQ5 構築された低次元システムは、完全なナビエ＝ストークス系で観測された分岐構造（例：周期倍分岐の連鎖による混沌状態の発生）を保持しているか？

主な発見

• Re = 170の条件下で、状態変数として$E_y$と$E_z$を用いた2次元写像は、訓練サンプル数$N$の増加に伴い$L_2$誤差が減少し、正則化および時間分解能に依存する下限に達する。
• 訓練サンプル数$N = 500$の条件下で、低次元系から予測された全渦度量$W$の軌道は、500時間ステップにわたりDNS軌道とよく一致する。
• Re = 183.1の条件下で、構築された関数$\tilde{W}(E_x, E_y, E_z, I)$は、アトラクター全体にわたり高い精度で全渦度量を予測でき、DNSデータとの比較で確認された。
• Poincaré断面$E_z = 0.005$において、$\tilde{W}$はエネルギー入力$I$に対して滑らかで単調な依存関係を示し、位相空間内に局所的で単純な構造が存在することを示している。
• アトラクターにおける高い渦度量を示す状態は、位相空間内で非常に局所的に集中しており、極端な乱流状態が低次元多様体の小さな領域に集中していることを示唆している。
• 低次元系は、完全なナビエ＝ストークス系で観測された分岐ダイアグラム（例：周期倍分岐による混沌状態の発生）を正確に再現しており、モデルからの赤丸の記号がDNSの黒線とよく一致している。