[論文レビュー] Construction of Lyapunov functions for interconnected parabolic systems: an iISS approach

Andrii Mironchenko, Hiroshi Ito|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非線形放物型PDE系の相互接続において積分入出力状態安定性（iISS）を確立するための小さな利得基準と、リャプノフ関数を構成的に構築する手法を開発する。無限次元系の課題を克服するため、特に$H^1_0$のようなソボレフ空間を丁寧に選択し、一つのサブシステムがiISSではあるがISSでない場合にも拡張可能な小さな利得定理を構築することで、高次非線形反応拡散系のロバスト安定性解析を可能にする。

ABSTRACT

This paper is devoted to two issues. One is to provide Lyapunov-based tools to establish integral input-to-state stability (iISS) and input-to-state stability (ISS) for some classes of nonlinear parabolic equations. The other is to provide a stability criterion for interconnections of iISS parabolic systems. The results addressing the former problem allow us to overcome obstacles arising in tackling the latter one. The results for the latter problem are a small-gain condition and a formula of Lyapunov functions which can be constructed for interconnections whenever the small-gain condition holds. It is demonstrated that for interconnections of partial differential equations, the choice of a right state and input spaces is crucial, in particular for iISS subsystems which are not ISS. As illustrative examples, stability of two highly nonlinear reaction-diffusion systems is established by the the proposed small-gain criterion.

研究の動機と目的

• 非線形放物型PDEにおける積分入出力状態安定性（iISS）を確立するためのリャプノフベースのツールを開発すること。
• 必ずしもISSでないiISS放物型系の相互接続に対する安定性基準を提供すること。
• 無限次元iISS系における時域空間の不適合性とmax型リャプノフ関数の不十分性という課題を解決すること。
• iISSでない放物型系の解析において、特にソボレフ空間を含む適切な状態空間と入力空間を選択する必要性を示すこと。
• 有限次元系における小さな利得定理を、iISSサブシステムを有する無限次元放物型系へと拡張すること。

提案手法

• バイリニアODEのSontagの手法にインspiredされた方法を用いて、非線形放物型系のiISSリャプノフ関数を構築する。
• 状態空間と入力空間として$H^1_0(0,\pi)$のようなソボレフ空間を採用することで、局所積の有界性を保証し、$L_p$-空間の制限を克服する。
• ヤングの不等式、$Σ$-不等式、およびポアンカレ／フレドリクス／アグモン不等式を用いて、リャプノフ微分における非線形項を評価する。
• 一つのサブシステムが僅かにiISSである場合でも、相互接続系の一様グローバル漸近的安定性（UGAS）を保証する小さな利得条件を導出する。
• 構築されたリャプノフ関数を用いてUGASを検証し、アグモンの不等式を介して$L_\infty$-ノルムにおける状態の$\mathcal{KL}$-バウンドを導出する。
• 非線形性がISSを妨げる2つの反応拡散系に対してフレームワークを検証し、小さな利得条件のもとで安定性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なISSツールが失敗する状況において、非線形放物型PDEのためのリャプノフ関数をどのように構築すればiISSを保証できるか？
• RQ2 特に$L_p$-空間が不十分な場合に、iISSでない放物型系のための適切な状態空間と入力空間は何か？
• RQ3 一つのサブシステムがiISSで、もう一つがISSである無限次元系に、小さな利得定理を拡張できるか？また、その場合のリャプノフ関数はどのように構築できるか？
• RQ4 ポアンカレ、フレドリクス、アグモンの不等式は、リャプノフ解析における非線形項の評価と安定性の確保にどのように寄与するか？
• RQ5 一つのサブシステムが僅かにiISSである場合に、相互接続された放物型系で一様グローバル漸近的安定性（UGAS）を保証する条件は何か？

主な発見

• 一つのサブシステムが僅かにiISSでISSでない場合でも、相互接続系の一様グローバル漸近的安定性（UGAS）を保証する小さな利得条件が確立された。
• 小さな利得条件とサブシステムのiISSリャプノフ関数を用いて、相互接続系のリャプノフ関数が明示的に構築された。
• 安定性は状態空間$X = H^1_0(0,π) \times H^1_0(0,π)$で証明され、ソボレフ空間がPDEにおける非線形性と有界な積を扱う上で不可欠であることが示された。
• アグモンの不等式のおかげで、状態の$L_\infty$-ノルムが初期状態ノルムの$\mathcal{KL}$-関数によってバウンドされ、局所的安定性が保証された。
• 本手法は、ISSでない2つの高次非線形反応拡散系についても、iISSおよびUGASを確立し、具体的な例を通じてフレームワークの有効性を検証した。
• $L_p$-空間がPDEにおけるバイリニア項に対して失敗する問題を克服し、iISS系のロバスト安定性解析においてソボレフ空間が必要不可欠であることを示した。