[論文レビュー] Construction of MDS Self-dual Codes over Finite Fields

Khawla Labad, Honwei Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化リード・ソロモン（GRS）および拡張 GRS コードを用いて、奇数の特徴を持つ有限体上での MDS 自己双対符号の新しいクラスを構築する。代数的自己双対性の基準（補題 2.1 および 2.2）を適用することで、著者らはこのような符号の既知のパrameter 範囲を顕著に拡大する4つの定理を導出する。特に、$ q = r^2 $ である平方体 $\mathbb{F}_{q}$ に対しては、先行研究の243に比べて最大713の異なる符号長を生成する。

ABSTRACT

In this paper, we obtain some new results on the existence of MDS self-dual codes utilizing (extended) generalized Reed-Solomon codes over finite fields of odd characteristic. For some fixed $q$, our results can produce more classes of MDS self-dual codes than previous works.

研究の動機と目的

• 奇数特徴を持つ有限体上での MDS 自己双対符号の既知の存在を拡張すること。
• 自己双対性条件を満たす一般化および拡張 GRS コードを用いた体系的な構成法の開発。
• 特に $ q = r^2 $ である平方体 $\mathbb{F}_{q}$ に対して、$ q $-元 MDS 自己双対符号のパrameter化されたクラスの数を増やすこと。
• ラグランジュ補間積に関する代数的基準を通じて、このような符号の存在を保証する明示的十分条件を提供すること。

提案手法

• Corollary 2.1 および Corollary 2.2 を活用し、(拡張) GRS コードが自己双対であるための必要十分条件を、積 $ L_{\mathbf{a}}(\alpha_i) $ の符号に基づくものとする。
• すべての $ i $ に対して $ -L_{\mathbf{a}}(\alpha_i) \in \mathbb{F}_q^{*2} $（平方元の乗法的群）となるように、$ \mathbb{F}_q $ 内の評価点 $ \mathbf{a} $ および重み $ \mathbf{v} $ を選択する。
• 単位根、$ \mathbb{F}_q $ の部分空間、乗法的部分群の陪集合といった構造的集合を用いて $ \mathbf{a} $ を定義し、対称性と取り扱いやすい積の表現を確保する。
• 二次キャラクターおよび体自己同型の性質を用いて、特に $ q = r^2 $ または $ q = p^m $ の場合に $ L_{\mathbf{a}}(\alpha_i) $ の符号を制御する。
• パrameter に対する明示的上限を導出する：$ t \leq \frac{r-1}{\gcd(r-1,m)} $、$ m \mid (q-1) $、および $ tm $ もしくは $ \frac{q-1}{2t} $ の偶奇条件を満たすようにする。
• 得られた符号が次元 $ n/2 $ を持ち、Singleton 偏差に達することを確認することで、MDS および自己双対性の両方を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GRS および拡張 GRS コードを用いて、奇数特徴を持つ有限体上での MDS 自己双対符号の新しいクラスを構築可能か？
• RQ2 パrameter $ q $、$ n $、および符号構造に関するどのような条件が、GRS もしくは拡張 GRS コードが自己双対であることを保証するか？
• RQ3 新しい構成法は、先行研究と比較して、生成される異なる符号長の数においてどのように差をつけるか？
• RQ4 特定の $ q = r^2 $ に対して、体の構造および乗法的部分群を活用することで、$ q $-元 MDS 自己双対符号の数を顕著に増加させられるか？

主な発見

• $ r $ が奇数で $ q = r^2 $ のとき、定理 1 は $ n = tm $ の MDS 自己双対符号を構成し、$ 2 \leq t \leq \frac{r-1}{\gcd(r-1,m)} $ かつ $ \frac{q-1}{m} $ が偶数である条件下で、先行研究より多くのクラスを生成する。
• 定理 2 は、$ tm $ が奇数、$ m \mid (q-1) $、$ t $ が同じ範囲にある場合に $ n = tm + 1 $ に対応するものに拡張され、再び新しい符号族を提供する。
• 定理 3 は、$ tm $ が偶数で $ t $ と $ m $ に同じ制約を課す条件下で $ n = tm + 2 $ に対応する構成を提供し、さらにパrameter 空間を拡大する。
• 定理 4 は、$ \mathbb{F}_{p^m} $ 上で $ n = 2tp^e $ の符号を構成し、$ 2t \mid (p-1) $、$ e < m $、および $ \frac{q-1}{2t} $ が偶数である条件を満たす。$ p \equiv 1 \pmod{4} $ の場合に、新しい符号族を可能にする。
• $ q = 151^2 $ の場合、新しい構成により 713 個の異なる符号長が得られ、表 1 に示されたすべての先行研究の合計 243 個を上回る。
• 本研究の結果は、特に平方体に対して、[参考文献] の先行構成を一般化・拡張し、構造的評価集合および体論的性質に基づく新しいパrameter 家族を導入することで、既存の結果を拡張する。