[論文レビュー] Construction of Parametric Barrier Functions for Dynamical Systems using Interval Analysis

Adel Djaballah, Alexandre Chapoutot+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2015

Formal Methods in Verification参考文献 31被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非線形連続時間力学系のパラメトリックバリア関数を構築するための、区間解析に基づく新規手法を提案する。設計問題を量化された制約充足問題（QCSP）として定式化し、コントラクト法を用いたブランチアンドプルーニングアルゴリズムを拡張することで、有効なパラメータを効率的に探索する。本手法は、緩和を伴わず、非多項式系に対しても安全な性質を正当化でき、非線形で非凸な問題において、RSolverなどの既存ツールを上回る性能を示した。

ABSTRACT

Recently, barrier certificates have been introduced to prove the safety of continuous or hybrid dynamical systems. A barrier certificate needs to exhibit some barrier function, which partitions the state space in two subsets: the safe subset in which the state can be proved to remain and the complementary subset containing some unsafe region. This approach does not require any reachability analysis, but needs the computation of a valid barrier function, which is difficult when considering general nonlinear systems and barriers. This paper presents a new approach for the construction of barrier functions for nonlinear dynamical systems. The proposed technique searches for the parameters of a parametric barrier function using interval analysis. Complex dynamics can be considered without needing any relaxation of the constraints to be satisfied by the barrier function.

研究の動機と目的

• 従来の到達可能性解析が過剰近似を引き起こす非線形連続時間力学系における安全の検証という課題に対処すること。
• 多項式の力学系やバリア関数の形に制限されない、一般化されたパラメトリックバリア関数の構築手法を開発すること。
• バリア関数設計に生じる量化された制約充足問題（QCSP）を、区間解析とコントラクト法を用いて解くこと。
• 高度なプルーニング技術により、高次元のパrameter空間における計算効率とスケーラビリティを向上させること。
• ベンチマーク例、特に非多項式系や有界な摂動を伴う系を用いて、本手法の有効性を実証すること。

提案手法

• バリア関数の設計を、初期状態領域と不安全領域を分離するパラメータを求めるという目的で、量化された制約充足問題（QCSP）として定式化する。
• CSC-FPSフレームワークに基づくブランチアンドプルーニングアルゴリズムを用い、コントラクト法を組み合わせてパrameter空間内の非妥当領域を削減する。
• コントラクト法を用いて、バリア条件を満たさないパラメータ値を削除することで、探索空間を縮小し、収束性を著しく向上させる。
• 緩和による解の品質低下を避けるため、非多項式の力学系や非凸制約を直接処理する。
• すべての計算に対して区間演算を用いることで、計算の厳密な境界を保証し、数値的正確性を維持する。
• 7つの例題（非線形系・ハイブリッド系を含む）に対して評価を行い、RSolverや緩和形式との比較も実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コントラクト法を用いた区間解析は、非線形力学系におけるパラメトリックバリア関数設計のQCSPを効果的に解けるか？
• RQ2 標準的なブランチアンドプルーニングと比較して、コントラクト法の導入がバリア関数探索の効率性と成功確率にどのように寄与するか？
• RQ3 緩和を伴わず、非多項式の力学系や非凸制約をどの程度処理できるか？
• RQ4 特に非線形パラメトリックバリア関数に対して、RSolverと比較して本手法の性能と解の品質はどの程度優れているか？
• RQ5 状態空間およびパラメータ空間の次元数に対して、本手法のスケーラビリティはどの程度か？

主な発見

• コントラクト法の追加により、全テスト例で計算時間が30分以上（タイムアウト）から100秒未塔に短縮され、著しく効率が向上した。
• 例5.1では、コントラクト法導入後、計算時間が36秒から16秒に短縮され、分割回数も4520回から4553回にわずかに増加したが、これはプルーニングの改善を示している。
• 本手法は、非多項式系（例：ローレンツ系）を含む7つのすべての例題で有効なバリア関数を成功裏に発見したが、緩和形式では30分以内に収束しなかった。
• RSolverは、非線形制約と非線形パラメトリックバリア関数を含む例5.4および5.5では解を発見できず、線形パラメトリックツールの限界を示している。
• 6次元の状態空間と7つのパラメータを有する問題において、コントラクト法を用いて12分未塔で問題を解消した。
• 図版による結果から、計算されたバリア関数が初期領域（緑）と不安全領域（赤）を正しく分離しており、軌道が安全側に留まっていることが確認された。