[論文レビュー] Construction of Partial MDS (PMDS) and Sector-Disk (SD) Codes with Two Global Parity Symbols

Mario Blaum, James S. Plank+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2014

Advanced Data Storage Technologies被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、有限体と原始元を用いて、2つのグローバルパリティ記号を備えた部分最大距離可解性（PMDS）およびセクタディスク（SD）コードの一般化された代数的構成を提示する。この手法により、任意の障害ディスク数および最大2つの追加セクタの消失に対して最大可解性が保証され、わずかな体サイズで実現可能であり、現代のストレージシステムにおけるエラー訂正符号設計における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Partial MDS (PMDS) codes are erasure codes combining local (row) correction with global additional correction of entries, while Sector-Disk (SD) codes are erasure codes that address the mixed failure mode of current RAID systems. It has been an open problem to construct general codes that have the PMDS and the SD properties, and previous work has relied on Monte-Carlo searches. In this paper, we present a general construction that addresses the case of any number of failed disks and in addition, two erased sectors. The construction requires a modest field size. This result generalizes previous constructions extending RAID~5 and RAID~6.

研究の動機と目的

• 任意の数の障害ディスクおよび2つの追加セクタの消失を想定した、2つのグローバルパリティ記号を有する一般化されたPMDSおよびSDコードを構築するという未解決問題に取り組む。
• モンテカルロ探索に依存しない決定的で代数的な構成を提供することで、その依存を排除する。
• RAID 5およびRAID 6の先行構成を拡張し、より広範な障害パターンをサポートできるように一般化する。
• すべての有効な消去パターンにおいて正しく動作することを保証しながら、体サイズの要件を最小限に抑える。
• PMDSおよびSDコードの両方に適用可能な統一されたフレームワークを提供する。

提案手法

• 全配列要素数を超える位数を持つ原始元 $\alpha$ を有する有限体 $GF(2^w)$ を使用し、重要な式の可逆性を保証する。
• $m$ 個のパリティ列と2つの追加グローバルパリティ記号を備えたSDコードのパリティーチェック行列 $H$ を、$\alpha$ のべき乗に基づく構造化された行ブロックを用いて構築する。
• PMDSコードのための修正されたパリティーチェック行列 $H'$ を、全ランクをすべての消去パターンで保証するために、シフトパラメータ $N = (m+1)(n-m-1)+1$ を導入することで実装する。
• 最小多項式 $f_\alpha(x)$ と多項式環 $M_p(x)$ を用いて、素数体を超える一般化を実現する。
• 体の位数内での指数差を制限することで、重要な体式の可逆性を保証し、ゼロの結果を防ぐ。
• すべての必要な消去パターンが構築された符号構造の下で復号可能であることを、代数的証明により検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モンテカルロ探索手法を回避できる、$(m;2)$ PMDSおよびSDコードの決定的で代数的な構成は開発可能か？
• RQ2 任意の $m$ 個の障害ディスクおよび2つの追加セクタの消失の組み合わせに対して正しく復号可能であることを保証するのに十分な体サイズは何か？
• RQ3 構成を任意の行数および列数に一般化し、最大可解性を維持できるか？
• RQ4 すべての有効な消去パターンにおいてパリティーチェック行列がフルランクを保つために必要な代数的条件は何か？
• RQ5 同じ基盤構造を用いて、PMDSおよびSDコードの両方をサポートできるフレームワークは再利用可能か？

主な発見

• 提案された構成は、任意の $m$ 個の障害ディスクおよび最大2つの追加セクタの消失を含む、すべての有効な消去パターンに対して最大可解性を達成する。
• SDコードのための必要な体サイズは、配列要素の総数によって上限が定められ、実用的実装可能性を保証する。
• PMDSコードの場合、体サイズの要件は全セクタ数の最大で2次関数的であり、実世界の展開において効率的である。
• すべての消去シナリオにおいて重要な体式の可逆性が保証されることを代数的議論により証明し、構成の正しさを裏付けた。
• $(1;2)$ および $(2;2)$ コードの先行構成を一般化し、それらを同一のフレームワークに統合した。
• 同じコア構造を用いてPMDSおよびSDコードの両方をサポートするが、パリティーチェック行列の設計のみが異なる。