[論文レビュー] Construction of PMDS and SD Codes extending RAID 5

Mario Blaum|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2013

Advanced Data Storage Technologies参考文献 5被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、有限体上での代数的構造と既約多項式を用いて、RAID 5に2つの冗長パリティを追加する部分MDS（PMDS）およびセクタディスク（SD）コードの理論的構築を提示する。この手法により、列に沿わない場合でも1行あたり最大2つのセクタ消失を補正可能であり、長年の未解決問題を解消した。

ABSTRACT

A construction of Partial Maximum Distance Separable (PMDS) and Sector-Disk (SD) codes extending RAID 5 with two extra parities is given, solving an open problem. Previous constructions relied on computer searches, while our constructions provide a theoretical solution to the problem.

研究の動機と目的

• コンピュータ探索に依存せずに、RAID 5に2つの追加パリティを持つPMDSおよびSDコードを構築するという未解決問題を解決すること。
• 単一デバイス障害を超える耐障害性を実現し、行に跨る複数のセクタ消失を補正できるようにRAID 5を拡張すること。
• 有限体および既約多項式を用いた理論的枠組みを提供し、(1;2) PMDSおよびSDコードを構築すること。
• 提案されたコードが、列が整列していない場合でも1行あたり最大2つの消失を補正できることを保証し、複雑な障害パターンに対して耐障害性を確保すること。

提案手法

• 原始元 $\alpha$ 及びその最小多項式 $f_\alpha(x)$ を用いて、$GF(2^b)$ 上にパリティ検査行列を構築し、誤り補正に適した代数的構造を保証する。
• パワーズ $\alpha$ からの列ベクトルを用いて、コード $\mathcal{C}^{(1)}(m,n;\alpha; q)$ を定義し、パリティ検査行列に特定のパターンを導入することで、複数の消失を補正可能にする。
• ベンドルム形式の行列式を用いて、1行内に3つの消失が生じた場合の補正可能性を証明し、$\alpha$ のべき乗の差の逆行列性を活用する。
• 4×4部分行列の行列式解析を用いて、2つの異なる行にそれぞれ2つの消失が生じた場合の補正可能性を証明し、同じ列にない場合でも補正可能であることを示す。
• 多項式を $M_p(x)$ を法として用いる環論的構成を適用し、体を超えた一般化を図ることで、より広範な適用可能性を実現する。
• 消失補正の行列式条件が非ゼロであることを示すことで正当性を検証し、$\alpha$ の位数制約および指数和の重複なし性質により、逆行列性が保証されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 RAID 5に2つのパリティを追加する(1;2) PMDSコードを、コンピュータ探索に依存せずに理論的に構築可能か？
• RQ2 消失が同じ列に整列していない場合でも、1行あたり最大2つの消失を補正可能か？
• RQ3 同じ制約下で、同様の消失補正能力を持つSDコードへの拡張は可能か？
• RQ4 パリティ検査行列の関連部分行列の行列式が非ゼロであることを保証する代数的条件は何か？
• RQ5 $GF(2^b)$ または $M_p(x)$ を法としての $\alpha$ の位数および最小多項式は、複数の消失補Correctの能力にどのように影響するか？

主な発見

• 提案されたコード $\mathcal{C}^{(1)}(m,n;\alpha; q)$ および $\mathcal{C}^{(1)}(m,n;M_p(x))$ は、(1;2) PMDSコードとして証明され、列の整列に関係なく1行あたり最大2つの消失を補正可能である。
• 1行内に3つの消失が生じた場合、$\alpha$ のべき乗から形成される3×3行列式がバーデンム構造により非ゼロとなるため、補正可能である。
• 2行にそれぞれ2つの消失が生じる場合、$\alpha$ の位数制約により指数差が等しくならないため、4×4行列式の補正条件が満たされ、ゼロ行列式を回避する。
• $\alpha^{2\ell n} = \alpha^{i'+j'-i-j}$ が成立しないことを、$\ell n$ の上限および指数範囲の制約により示し、矛盾を避ける。
• 本手法は有限体 $GF(2^b)$ および $M_p(x)$ を法とする多項式環の両方で有効であり、適用範囲を拡張できる。
• 本研究により、従来コンピュータ探索でのみ知られていた(1;2) PMDSおよびSDコードの理論的・非計算的構築が達成され、未解決問題が解決された。