[論文レビュー] Construction of program control with probability one for a dynamical system with Poisson perturbations

Elena Karachanskaya|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2011

Advanced Data Processing Techniques被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非中心的ポアソン測度を伴うイト型SDE系における確率的第一積分の概念を活用することで、ウィーナーおよびポアソン的摂動を受ける力学系に対して、確率1でプログラム制御を構築する手法を提案する。この手法により、与えられた関数が標本経路に沿ってほとんど確実に一定のままであることが保証され、ジャムプと拡散の両方の確率的摂動に対しても不変性を維持する制御則の設計が可能になる。ヤコビアンおよび係数行列の行列式条件に基づく明示的な構成式が導出される。

ABSTRACT

In article we construct the program control with probability one for a dynamical system with Poisson perturbations.

研究の動機と目的

• ウィーナーおよびポアソン的確率的摂動が重畝される状況下で、システム不変量を確率1で維持するための体系的な制御設計手法の開発。
• 非中心的ポアソン測度を伴う系への確率的第一積分理論の拡張により、強度密度関数の事前指定を不要にする。
• 与えられた関数が確率的第一積分であることを保証する、ドリフトおよび拡散係数に関する明示的な代数的条件の提供。
• 不変関数がほとんど確実に一定のままである制御系の構築を可能にし、ランダムジャンプおよび拡散に対するロバストネスを確保する。
• 既存のウィーナー駆動系に対する手法を、自己同型関数アルゴリズムおよび行列の小行列に基づく統一的枠組みを用いて、ジャンプ過程を含む形に一般化する。

提案手法

• 本手法は、ウィーナーおよび非中心的ポアソン的ノイズを伴うSDEに対する確率的第一積分の定義に基づくもので、3つの条件を要請する：拡散補正の消滅、時間不変性、およびポアソンジャンプ下での不変性。
• システムのドリフト係数 A(t; x) は、基本ベクトル場 R(t; x) と、拡散行列 Bk(t; x) のヤコビアンを含む補正項の和として構成され、第一積分条件を満たすようにする。
• 拡散行列 Bk(t; x) は、最初の行が標準基底ベクトル e₀ で、2行目が第一積分 u(t; x) の勾配である行列 H(t; x) の小行列から得られる。追加の行は補助関数 fi(t; x) によって定義される。
• 行列 H(t; x) は、その行列式と余因子行列 C(t; x) の逆行列が、関係式 C⁻¹(t; x) · det H(t; x) = e₀ + ... を通じてドリフトベクトル A(t; x) を表現できるように構築される。
• 制御則は、ドリフト項が第一積分の偏微分と行列式を含む式に等しくなるようにする方程式系を解くことで導出され、制御の明示的パrameter化が可能になる。
• 本手法では、fi(t; x) および q₀₀(t; x) の任意の選択が可能であり、数値的安定性や単純性などのモデル化や実装上のニーズに応じた制御のカスタマイズが可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非中心的ポアソン測度を伴うSDE系に対して、確率的第一積分をどのように定義・特徴づけることができるか？
• RQ2 ドリフト、拡散、ジャンプ係数にどのような代数的条件を課すと、与えられた関数が標本経路に沿ってほとんど確実に一定のままであるか？
• RQ3 ウィーナーおよびポアソン的摂動が重畝される状況下で、望ましい不変関数を確率1で維持する制御系を体系的に構築することは可能か？
• RQ4 本手法は、ポアソン測度の強度密度関数の知識を要する先行手法とどのように異なるか？
• RQ5 行列 H(t; x) 及びその行列式は、ドリフトおよび拡散係数の明示的構成において果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、関数 u(t; x) が確率的第一積分であるための必要十分条件として、ウィーナーノイズに対する補正ゼロ、時間不変性、ポアソンジャンプ下での不変性の3条件が成立することを確立した。
• ドリフト係数 A(t; x) は、A(t; x) = R(t; x) + ½ ∑ₖ [∂Bₖ/∂x] Bₖ(t; x) として明示的に構成され、ここで R(t; x) は行列 H(t; x) の余因子行列の逆行列から得られる。
• 拡散行列 Bₖ(t; x) は、第一積分の勾配と補助関数 fi(t; x) を含む行列 H(t; x) の小行列から決定される。
• システムの係数は、第一積分関数 u(t; x) および補助関数 fi(t; x) の選択によって完全に決定され、制御則の柔軟な設計が可能になる。
• 得られる制御系は、第一積分がほとんど確実に一定のままであることを保証し、確率1でプログラム制御を構築するためのメカニズムを提供する。
• 明示的な例として、第一積分が u(t; x) = x₁ + x₂ である場合が提示され、状態変数の指数関数および対数関数を用いた閉形式の制御系が得られる。