[論文レビュー] Construction of Recurrent Fractal Interpolation Surfaces with Function Scaling Factors and Estimation of Box-counting Dimension on Rectangular Grids

Chol-Hui Yun, HuiChol Choi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、再帰的反復関数系（RIFS）における関数スケーリング係数を用いて、長方形グリッド上に再帰的フラクタル補間表面（RFIS）を構築し、そのような表面が吸引子として存在することを証明する。構築されたRFISのボックスカウント次元について、タイトな下界と上界を確立し、スペクトル半径がスケーリング係数を上回る場合、次元が $1 + \log_a \underline{\lambda}$ と $1 + \log_a \bar{\lambda}$ の間に有界されることを示し、定数スケーリング係数を用いた先行研究を一般化する。

ABSTRACT

We consider a construction of recurrent fractal interpolation surfaces with function vertical scaling factors and estimation of their box-counting dimension. A recurrent fractal interpolation surface (RFIS) is an attractor of a recurrent iterated function system (RIFS) which is a graph of bivariate interpolation function. For any given data set on rectangular grids, we construct general recurrent iterated function systems with function vertical scaling factors and prove the existence of bivariate functions whose graph are attractors of the above constructed RIFSs. Finally, we estimate lower and upper bounds for the box-counting dimension of the constructed RFISs.

研究の動機と目的

• 定数スケーリング係数ではなく、関数に依存する垂直スケーリング係数を組み込むことで、既存のフラクタル補間表面の構築を拡張すること。
• 長方形グリッド上における再帰的反復関数系（RIFS）を用いた再帰的フラクタル補間表面（RFIS）を構築するための一般枠組みを構築すること。
• 与えられた長方形グリッド上のデータセットに対して、そのグラフが構築されたRIFSの吸引子である2変数フラクタル補間関数の存在を証明すること。
• 得られたRFISのボックスカウント次元について、鋭い下界と上界を推定し、定数スケーリング係数を用いた先行研究を改善すること。

提案手法

• 長方形領域 $E_{ij} = I_i \times J_j$ 上に、ドメイン収縮写像 $L_{x,ij}, L_{y,ij}$ と関数スケーリング係数 $s_{ij}(x,y)$ を用いて再帰的反復関数系（RIFS）を定義する。
• 変数垂直スケーリング係数 $s_{ij}(x,y)$ を持つアフィン変換としてRIFS写像 $\Psi_{ij}$ を構築し、積空間上で収縮的であることを保証する。
• 完備距離空間上の連続関数の空間における収縮写像の原理を用いて、一意な吸引子 $\mathcal{A}$ が連続な2変数関数のグラフとして存在することを証明する。
• 覆いの数 $N(\varepsilon_r)$ を用いてボックスカウント次元を推定し、ここで $\varepsilon_r = a^{-r}$ である。係数行列のスペクトル半径 $\underline{\lambda}, \bar{\lambda}$ を用いて漸近的成長率を分析する。
• Frobeniusの定理と行列ノルム解析を用いて覆いの数の成長を評価し、$\log_a \underline{\lambda}$ と $\log_a \bar{\lambda}$ を用いた次元の境界を導出する。
• 次元の境界を確立する：$\underline{\lambda} > a$ のとき $1 + \log_a \underline{\lambda} \leq \dim_B \mathcal{A} \leq 1 + \log_a \bar{\lambda}$ であり、$\bar{\lambda} \leq a$ のとき $\dim_B \mathcal{A} = 2$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長方形グリッド上に、関数に依存する垂直スケーリング係数を用いた再帰的フラクタル補間表面をどのように構築できるか。
• RQ2 このようなシステムにおいて、2変数連続関数のグラフとして一意な吸引子表面が存在するための条件は何か。
• RQ3 構築されたRFISのボックスカウント次元について、最もタイトな下界と上界は何か。
• RQ4 変数スケーリング係数は、定数スケーリング係数を用いたシステムと比較して、次元の境界にどのように影響を与えるか。
• RQ5 RFISのボックスカウント次元が2に等しくなるのはどのような条件下か。

主な発見

• 構築されたRFISは、関数スケーリング係数を用いた再帰的反復関数系（RIFS）の吸引子として適切に定義されており、補間表面の存在と一意性を保証する。
• RFISのボックスカウント次元は、$1 + \log_a \underline{\lambda}$ と $1 + \log_a \bar{\lambda}$ の間に下界と上界を有する。ここで $\underline{\lambda}$ と $\bar{\lambda}$ は、システムから導かれる係数行列のスペクトル半径である。
• 下位スペクトル半径 $\underline{\lambda} > a$ のとき、次元は1より大きく、導出された対数的境界内に存在する。
• 上位スペクトル半径 $\bar{\lambda} \leq a$ のとき、RFISのボックスカウント次元は正確に2であり、$\mathbb{R}^3$ 内で全位相次元を持つ表面を示している。
• 本研究の結果は、定数スケーリング係数を用いた先行研究を一般化し、変数スケーリング行動を示すフラクタル表面に対して、より鋭く柔軟な次元推定を可能にする。
• 本手法は長方形グリッド上の任意のデータセットを扱え、スケーリング関数と収縮写像の選択を通じて、フラクタル次元を体系的に制御できる。