[論文レビュー] Construction of scalar and vector finite element families on polygonal and polyhedral meshes

Andrew Gillette, Alexander Rand+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般の凸多角形・多面体メッシュ上で、一般化重心座標を用いて適合するスカラーおよびベクトル有限要素基底を構築し、古典的な Nédélec、Raviart-Thomas、Brezzi-Douglas-Marini 要素を単体メッシュを超えて拡張する。この手法は、微分形式の正しいグローバル連続性と多項式再現性を保証し、包絡形式を非単体的要素へ一般化し、収束性が保証されたものである。

ABSTRACT

We combine theoretical results from polytope domain meshing, generalized barycentric coordinates, and finite element exterior calculus to construct scalar- and vector-valued basis functions for conforming finite element methods on generic convex polytope meshes in dimensions 2 and 3. Our construction recovers well-known bases for the lowest order N\\'ed\\'elec, Raviart-Thomas, and Brezzi-Douglas-Marini elements on simplicial meshes and generalizes the notion of Whitney forms to non-simplicial convex polygons and polyhedra. We show that our basis functions lie in the correct function space with regards to global continuity and that they reproduce the requisite polynomial differential forms described by finite element exterior calculus. We present a method to count the number of basis functions required to ensure these two key properties.

研究の動機と目的

• 非構造的多角形および多面体メッシュ上で、単体的要素を超えて古典的有限要素を一般化する適合有限要素法を開発すること。
• 一般化重心座標を用いて、有限要素外微分計算の理論を非単体的凸多面体へ拡張すること。
• スカラーおよびベクトル要素のためのグローバル連続性を保ち、$\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ および $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 空間に必要な多項式微分形式を再現する局所基底関数を構築すること。
• 多面体メッシュ上での連続性および多項式再現要件を満たすために必要な基底関数の数を系統立てて数える方法を提供すること。
• 要素間連続性に影響を与えない冗長な基底成分を特定することで、複雑なメッシュ上での実用的有限要素法を可能にすること。

提案手法

• 凸多面体上での一般化重心座標（Wachspress, Sibson, 調和、平均値）を用い、スカラーおよびベクトル有限要素の局所基底関数を定義する。
• 重心座標およびその勾配または回転の積として基底関数を構築し、有限要素外微分計算における微分形式と整合性を保つ。
• 多面体メッシュと一般化重心座標に関する理論的結果を適用し、得られる基底関数が正しい関数空間（$H^1$、$H(\text{curl})$、$H(\text{div})$）に属することを保証する。
• 各微分形式次数 $k$ およびメッシュ次元 $n=2,3$ に対して、必要な基底関数の数の明示的公式を導出する。ここで、合計数、境界成分、多項式再現成分を区別する。
• 頂点、辺、面の数に基づく数え上げ手順を導入し、基底サイズを定量化し、要素間連続性に寄与しない冗長関数を同定する。
• 基底関数が多面体メッシュ上で $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ および $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 多項式微分形式を再現することを証明することで、構築を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化重心座標を用いて、任意の凸多角形および多面体メッシュ上で、スカラーおよびベクトル値問題の適合有限要素基底を構築できるか？
• RQ2 得られる基底関数は、非単体的要素上でも正しいグローバル連続性（$H^1$、$H(\text{curl})$、$H(\text{div})$）を保つのか？
• RQ3 基底関数は、多面体メッシュ上で $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ および $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 空間の多項式微分形式を再現できるか？
• RQ4 連続性および多項式再現要件を満たすために必要な最小の基底関数数は何か？ また、冗長性はどのように同定できるか？
• RQ5 基底サイズはメッシュの複雑さにどのように依存するか？ 連続性を損なわずに顕著な削減が可能な状況は何か？

主な発見

• 本手法により、古典的最低次有限要素（Nédélec、Raviart-Thomas、BDM）が、一般化重心座標を用いて非単体的凸多角形および多面体へ一般化された。
• $\mathcal{P}_1^{-}\Lambda^k$ および $\mathcal{P}_1\Lambda^k$ 空間の基底関数が構築され、正しい関数空間に属し、必要なグローバル連続性を有することが証明された。
• 3次元の六面体要素では、$\mathcal{P}_1\Lambda^1$ 基底に56個の関数が含まれるが、要素間連続性に必要なのは48個にとどまるため、基底の縮小が可能である。
• $k=2$ の場合、多角形および多面体上では要素間連続性が不要であるため、全基底サイズは必要なく、不連続ガラーキン法がより実用的である。
• $k=0$ 基底は縮小できない。各基底関数 $\lambda_i$ が $H^1$-連続性に寄与するためであるが、$k=1$ および $k=2$ の非単体的要素上では、顕著な基底サイズの縮小が可能である。
• 頂点、辺、面の寄与に基づく明示的公式を提供し、基底サイズおよび冗長性の系統的分析を可能にする。