[論文レビュー] Construction of separately continuous functions of $n$ variables with given restriction

Volodymyr Mykhaylyuk|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$n$ 個の位相空間の直積上でのそれぞれの連続関数を、所定の対角制限を満たすように構成する問題を解決する。任意の位相空間 $X$ と、$X$ から $\mathbb{R}$ への $(n-1)$ 階のバイアールクラス関数 $g$ に対して、$f(x,x,\dots,x) = g(x)$ をすべての $x \in X$ で満たす separately continuous 関数 $f: X^n \to \mathbb{R}$ が存在することを証明する。これは、それぞれの連続関数の対角に関する既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

It is solved the problem on construction of separately continuous functions on product of $n$ topological spaces with given restriction. In particular, it is shown that for every topological space $X$ and $n-1$ Baire class function $g:X o \mathbb R$ there exists a separately continuous function $f:X^n o\mathbb R$ such that $f(x,x,\dots,x)=g(x)$ for every $x\in X$.

研究の動機と目的

• $X^n$ 上でのそれぞれの連続関数を、所定の対角制限を満たすように構成する問題を解決すること。
• それぞれの連続関数の対角に関する既知の結果を、高階のバイアールクラスにまで拡張すること。
• 実数値関数の $\mathbb{R}^n$ 上での以前の結果を、任意の位相空間に一般化すること。
• $X$ 上の $(n-1)$ 階バイアールクラス関数が、$X^n$ 上のそれぞれの連続関数の対角として現れるための条件を確立すること。

提案手法

• バイアールクラス関数の拡張性を保証するため、$PP$-空間および関数的閉集合の概念を用いる。
• メトライズ可能な空間 $Z$ 上に、連続関数の点別極限として得られる関数 $\tilde{g}$ を構成し、それが $(n-1)$ 階バイアールクラスに属することを示す。
• 連続写像 $\varphi_i: X_i \to Z$ を用いたリフト構成により、関数 $g$ を $Z^n$ 上に移す。
• $\tilde{f}: Z^n \to \mathbb{R}$ が対角に $\tilde{g}$ を持つ separately continuous 関数であることを用い、$\varphi_i$ との合成により $X^n$ 上に戻す。
• パラコンパクト空間における分割の単位を用いて、局所的な解を一つにまとめて、$X_1 \times \cdots \times X_n$ 上のグローバルなそれぞれの連続関数を構成する。
• コンパクトまたは局所コンパクト空間における閉じた射影的イントラクティブ集合が、バイアールクラス関数の局所的拡張を可能にするという事実に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の位相空間 $X$ 上の $(n-1)$ 階バイアールクラス関数は、$X^n$ 上のそれぞれの連続関数の対角として実現可能か？
• RQ2 $X$ にどのような位相的条件を課すと、与えられたバイアールクラス関数がそれぞれの連続関数の対角として現れるか？
• RQ3 $X_1 \times \cdots \times X_n$ 上の特別な部分集合 $E$ における制限が、与えられたバイアールクラス関数 $g$ に一致するそれぞれの連続関数をどのように構成できるか？
• RQ4 関数 $g$ が部分集合 $E \subseteq X_1 \times \cdots \times X_n$ 上に定義されているとき、それが全積 $X_1 \times \cdots \times X_n$ 上のそれぞれの連続関数に拡張可能となる条件は何か？

主な発見

• 任意の位相空間 $X$ と、$X$ から $\mathbb{R}$ への $(n-1)$ 階バイアールクラス関数 $g$ に対して、$f(x,x,\dots,x) = g(x)$ をすべての $x \in X$ で満たす separately continuous 関数 $f: X^n \to \mathbb{R}$ が存在する。
• この構成は、関数 $g$ を連続写像を介してメトライズ可能な空間 $Z$ にリフトし、バイアールクラス構造を用いて連続近似の点別収束を保証することに依存する。
• 以前の結果では、$X^n$ 上のそれぞれの連続関数の対角が $(n-1)$ 階バイアールクラスに属することを示していたが、本研究では、やや弱い位相的仮定のもとでその逆が成り立つことを示した。
• コンパクトまたは局所コンパクトな空間で、適切な部分集合 $E$ を持つ場合、$E$ 上の $(n-1)$ 階バイアールクラス関数 $g$ は、全積 $X_1 \times \cdots \times X_n$ 上のそれぞれの連続関数に拡張可能である。
• 証明では、パラコンパクト空間における分割の単位を用いて、局所的なそれぞれの連続関数拡張をグローバルな解にまとめる。
• 主な技術的道具は、連続射影を介して、集合 $E$ からメトライズ可能な空間 $Z$ へのバイアールクラス関数の拡張であり、この拡張はバイアールクラス構造を保つ。