[論文レビュー] Construction of the pseudo Riemannian geometry on the base of the Berwald-Moor geometry

G. I. Garas'ko, D. G. Pavlov|ArXiv.org|Sep 5, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、接接線指示子テンソルと世界関数を用いて、ベルヴァル＝ムールFinsler空間から4次元擬リーマン幾何を構築する。超複素数 $ H_4 $ 代数における解析性の破れにより、非相対論的ニュートン重力ポテンシャルが生成され、ベルヴァル＝ムール計量を有するFinsler幾何が低速度極限においてアインシュタインに類似した重力を生じることを示している。

ABSTRACT

The space of the associative commutative hyper complex numbers, H_4, is a 4-dimensional metric Finsler space with the Berwald-Moor metric. It provides the possibility to construct the tensor fields on the base of the analytical functions of the H_4 variable and also in case when this analyticity is broken. Here we suggest a way to construct the metric tensor of a 4-dimensional pseudo Riemannian space (space-time) using as a base the 4-contravariant tensor of the tangent indicatrix equation of the Berwald-Moor space and the World function. The Berwald-Moor space appears to be closely related to the Minkowski space. The break of the analyticity of the World function leads to the non-trivial curving of the 4-dimensional space-time and, particularly, to the Newtonian potential in the non-relativistic limit.

研究の動機と目的

• 4次元Finsler空間にベルヴァル＝ムール計量を有する、結合的かつ可換な超複素数代数 $ H_4 $ を用いた時空幾何の基礎を確立すること。
• ベルヴァル＝ムール接接線指示子の4階反変テンソルと世界関数を用いて、4次元擬リーマン時空の計量テンソルを導出すること。
• $ H_4 $-値関数における解析性の破れが、非相対論的極限において曲率と重力的効果を生じる仕組みを明らかにすること。
• 導出された幾何がニュートンポテンシャルを再現することを示し、Finsler幾何が古典的重力と結びつくこと。

提案手法

• 接接線指示子方程式 $ g^{ijkl}p_ip_jp_kp_l - 1 = 0 $ を用い、$ g^{ijkl} $ はベルヴァル＝ムール計量の4階テンソルから導出される。
• 4次元擬リーマン時空の計量テンソルは、$ g_{ij} = g_{ijkl}f^k_{(1)}f^l_{(2)} $ により構成され、$ H_4 $ 変数における解析関数の成分を用いる。
• 世界関数 $ S $ は $ H_4 $-解析関数から導出され、パラメータ $ \alpha_A $ を導入することで解析性を破り、曲率を誘導する。
• ベルヴァル＝ムール長さ要素の共形変換により、Finsler構造が擬リーマン時空幾何に写像される。
• 非相対論的極限は、ラグランジアンを $ v/c $ のべき級数に展開し、$ (v/c)^2 $ 項まで保持することで分析され、有効ポテンシャルが特定される。
• 得られたポテンシャルエネルギー $ U(r) = -\gamma mM / r $ は、$ H_4 $-に基づく幾何から導出され、弱い場の極限におけるニュートン重力と一致する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベルヴァル＝ムールFinsler空間から、$ H_4 $-代数的構造を用いて4次元擬リーマン時空幾何を一貫して導出可能か？
• RQ2 $ H_4 $-値関数における解析性の破れが、導出される時空幾何に及ぼす影響と、曲率誘導のメカニズムは何か？
• RQ3 導出された幾何が非相対論的極限においてニュートン重力ポテンシャルを再現するか？
• RQ4 世界関数およびその共形変換が、Finsler構造から擬リーマン計量を生成する役割は何か？
• RQ5 ベルヴァル＝ムール計量を有するFinsler幾何が、適切な極限でアインシュタイン重力に還元される、時空の基本的幾何的モデルとして機能可能か？

主な発見

• 本モデルは、ベルヴァル＝ムール接接線指示子の4階反変テンソルと世界関数を用いて、4次元擬リーマン計量テンソルを成功裏に構築した。
• 解析性の破れにより、非自明な時空曲率が生じ、誘導されたポテンシャルは非相対論的極限でニュートン重力ポテンシャル $ U(r) = -\gamma mM / r $ と一致した。
• 導出されたポテンシャルは、$ \psi(r) = \pm \frac{2\sqrt{2\gamma M}}{3\nu} r^{1/2} + \psi_0 $ を通じて $ H_4 $-に基づく幾何から得られ、世界関数が重力的力学と結びついた。
• 計量から導出されたラグランジアンは、標準的な非相対論的形 $ L = \frac{1}{2}m\vec{v}^2 - U(\vec{x}) $ を再現し、古典力学と整合的であることを確認した。
• ベルヴァル＝ムール長さ要素の共形変換により、Finsler構造が擬リーマン幾何に写像され、中心質量のケプラー問題を記述する。
• この構成により、ベルヴァル＝ムール計量を有するFinsler空間が、適切な極限で既知の相対論的解を生じることを示し、より深い幾何的統一の可能性を示唆した。