[論文レビュー] Construction of Z4-linear Reed-Muller codes

Jaume Pujol, Josep Rifà+1 more|ArXiv.org|Jan 19, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、4元的Plotkin型構成を用いて、${\mathbb{Z}}_4$-線形Reed-Muller符号の新規族を構成し、グレイ写像を施した結果得られる2進符号が、古典的2進線形Reed-Muller符号のパラメータおよび構造的性質（双対性や包含関係を含む）と一致することを保証する。主な貢献は、1次および$(m-2)$次符号がそれぞれ${\mathbb{Z}}_4$-線形ハダマード符号および拡張1-完全符号に写像される体系的な構成法である。

ABSTRACT

New quaternary Plotkin constructions are given and are used to obtain new families of quaternary codes. The parameters of the obtained codes, such as the length, the dimension and the minimum distance are studied. Using these constructions new families of quaternary Reed-Muller codes are built with the peculiarity that after using the Gray map the obtained Z4-linear codes have the same parameters and fundamental properties as the codes in the usual binary linear Reed-Muller family. To make more evident the duality relationships in the constructed families the concept of Kronecker inner product is introduced.

研究の動機と目的

• 古典的2進線形Reed-Muller（RM）符号のパラメータおよび基本的性質（双対性など）を再現する${\mathbb{Z}}_4$-線形符号の新規族を構成すること。
• 2進RM符号に類似した符号族を体系的に生成可能にするために、2進Plotkin構成を${\mathbb{Z}}_4$-線形符号の文脈に一般化すること。
• Kronecker内積を用いて${\mathbb{Z}}_4$-線形設定における双対性関係を定義し、2進RM符号の双対性を模倣すること。
• 新規族における1次および$(m-2)$次符号が、グレイ写像によってそれぞれ${\mathbb{Z}}_4$-線形ハダマード符号および拡張1-完全符号に写像されることを保証すること。

提案手法

• 著者らは、生成行列のKronecker積に基づく4元的Plotkin構成を導入し、2進Plotkin法を${\mathbb{Z}}_4$に一般化する。
• 再帰的行列構成を用いて、$0 \leq r \leq m$および$0 \leq s \leq \lfloor (m-1)/2 \rfloor$に対して、新規の${\mathbb{Z}}_4$-線形符号族${\mathcal{RM}}_s(r,m)$を定義する。
• ${\mathbb{Z}}_4$-線形設定における双対性を定義するためにKronecker内積を導入し、${\mathcal{RM}}_s(r,m)$と${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$が双対符号であることを保証する。
• グレイ写像$\Phi$を適用して${\mathbb{Z}}_4$-線形符号を2進符号に変換し、長さ、次元、最小距離を保持する。
• 単項式同値性を用いて、標準内積のもとで${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$と双対となる別な符号族$\overline{{\mathcal{RM}}}_s(r,m)$を構成する。
• 帰納的証明により、得られた符号が古典的2進RM符号と同一の包含関係、双対性、パラメータ特性を満たすことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2進Plotkin構成の4元的一般化は、グレイ写像像が古典的2進線形Reed-Muller符号のパラメータと一致する${\mathbb{Z}}_4$-線形符号を生成できるか？
• RQ2 新規族における1次および$(m-2)$次符号が、グレイ写像によってそれぞれ${\mathbb{Z}}_4$-線形ハダマード符号および拡張1-完全符号に写像されるか？
• RQ3 ${\mathbb{Z}}_4$-線形設定で、2進RM符号の双対性を模倣する双対性関係を定義可能か？
• RQ4 ${\mathbb{Z}}_4$-線形符号族を、2進RM符号と同一の包含関係、次元、最小距離の進行を満たすように構成可能か？

主な発見

• 構成された${\mathbb{Z}}_4$-線形Reed-Muller符号${\mathcal{RM}}_s(r,m)$は、長さ$n = 2^m$、次元$k = \sum_{i=0}^r \binom{m}{i}$、最小距離$d = 2^{m-r}$を有し、古典的2進RM符号と同一のパラメータを持つ。
• 1次符号${\mathcal{RM}}_s(1,m)$はグレイ写像によって${\mathbb{Z}}_4$-線形ハダマード符号に写像され、$(m-2)$次符号${\mathcal{RM}}_s(m-2,m)$は${\mathbb{Z}}_4$-線形拡張1-完全符号に写像される。
• ${\mathcal{RM}}_s(r,m)$と${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$はKronecker内積のもとで双対符号であり、2進RM符号の双対性を再現する。
• ${\mathcal{RM}}_s(0,m)$は全2ベクトルで生成される反復符号であり、${\mathcal{RM}}_s(m,m)$は全空間${\mathbb{Z}}_4^{2^{m-1}}$である。
• ${\mathcal{RM}}_s(r-1,m)$は$r > 0$のとき${\mathcal{RM}}_s(r,m)$の部分符号であり、2進RM符号の包含階層を保持する。
• 単項式同値な別な符号族$\overline{{\mathcal{RM}}}_s(r,m)$が構成され、標準内積のもとで${\mathcal{RM}}_s(m-1-r,m)$と双対となる。