[論文レビュー] Constructions of complementary sequence sets and complete complementary codes by 2-level autocorrelation sequences and permutation polynomials

Zilong Wang, Guang Gong|arXiv (Cornell University)|May 12, 2020

PAPR reduction in OFDM参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2レベル自己相関系列、有限体上の置換多項式、および一般化 Reed-Muller（GRM）符号の間の新しい代数的枠組みを提示し、補完的系列集合（CSS）および完全補完的符号（CCC）を構築する。バーツン型ヘルミート行列の構造と系列のトレース表現を活用することで、CSSおよびCCCの構築におけるδ-二次項が置換多項式の積から生じることを確立し、CCCと2レベル自己相関系列の間の構造的関係についての未解決問題を解消した。これにより、低PMEPRおよび強力な誤り修正能力を持つ新たな構築法が可能になった。

ABSTRACT

In this paper, a recent method to construct complementary sequence sets and complete complementary codes by Hadamard matrices is deeply studied. By taking the algebraic structure of Hadamard matrices into consideration, our main result determine the so-called $δ$-linear terms and $δ$-quadratic terms. As a first consequence, a powerful theory linking Golay complementary sets of $p$-ary ($p$ prime) sequences and the generalized Reed-Muller codes by Kasami et al. is developed. These codes enjoy good error-correcting capability, tightly controlled PMEPR, and significantly extend the range of coding options for applications of OFDM using $p^n$ subcarriers. As another consequence, we make a previously unrecognized connection between the sequences in CSSs and CCCs and the sequence with 2-level autocorrelation, trace function and permutation polynomial (PP) over the finite fields.

研究の動機と目的

• 補完的系列集合（CSS）および完全補完的符号（CCC）と2レベル自己相関系列、トレース関数、および置換多項式（PPs）の間の理論的リンクを確立すること。
• パテルソンとタロコル（2000年）が提示した、CSS/CCC内の系列と2レベル自己相関系列の間の構造的関係に関する未解決問題を解消すること。
• バーツン型ヘルミート行列の代数的構造とδ線形／δ二次項を用いた、CSSおよびCCCの体系的構築法を開発すること。
• p-ary系列を用いた制御されたPMEPRと強力な誤り修正能力を持つ構築法を可能にすることで、OFDMシステムの符号化オプションの範囲を拡張すること。

提案手法

• 本稿は、バーツン型ヘルミート（BH）行列の代数的構造を用いて、CSSおよびCCC構築におけるδ線形およびδ二次項を明示的に特徴づける。
• CSSおよびCCC内の系列は、有限体上のトレース関数を用いて表現され、2レベル自己相関系列のトレース表現がBH行列の生成に用いられる。
• δ二次項は、有限体F_{p^n}上での置換多項式（PPs）の積から導出され、F_{p^n}上に存在する任意の2つのPPが有効なδ二次項を生成することを鍵とする洞察が得られる。
• p=2の場合、一対一の一般化ブール関数（GBFs）を用いて置換関数を実現する。奇素数pの場合、F_p上でのPPを用いる。
• 構築法は、カサミらの一般化 Reed-Muller（GRM）符号に基づくもので、δ線形項は(p-1)次第二種GRM符号の線形部分符号を形成する。
• Kronecker-デルタ基底関数の代わりに有限体およびPPの代数的構造を用いることで、ブルートフォース計算を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘルミート行列の代数的構造を用いて、CSSおよびCCC構築におけるδ線形およびδ二次項をどのように明示的に特徴づけられるか。
• RQ2 CSSおよびCCC内の系列と2レベル自己相関系列、トレース関数、および有限体上での置換多項式の間の関係は何か。
• RQ3 有限体理論を用いて、CCCと2レベル自己相関系列の間の構造的リンクに関する未解決問題を解消できるか。
• RQ4 構築されたCSSおよびCCCの誤り修正能力は、その代数的構造とハミング距離とどのように関係するか。
• RQ5 既知の2レベル自己相関系列およびPPを用いて、OFDMシステムのための新たな低PMEPR系列の構築法はどのように導出可能か。

主な発見

• 長さp^mのp-ary系列におけるδ線形項は、(p-1)次第二種一般化 Reed-Muller符号の線形部分符号を形成し、p^{m(p-1)+1}個の要素を含む。
• δ二次項は、F_{p^n}上に存在する任意の2つの置換多項式の積として明示的に表現可能であり、これにより新しいCSSおよびCCCの体系的構築が可能になる。
• p=2の場合、δ二次項は一対一の一般化ブール関数によって生成され、奇素数pの場合、F_p上でのPPから生じる。
• 構築されたCSS内の任意の2つの異なる系列間のハミング距離は、少なくとも3p^{m-2}以上であることが示され、強力な誤り修正能力を示している。
• 本手法は、パテルソンとタロコル（2000年）が提示した未解決問題に対して、CCCと2レベル自己相関系列の間の直接的な代数的リンクを確立することで、完全な解決を提供した。
• 本枠組みにより、m系列、GMW系列、3項系列などの既知の2レベル自己相関系列を活用して、低PMEPRの新しいCSSおよびCCCの構築が可能になった。