[論文レビュー] Constructions of Mutually Unbiased Bases

Andreas Klappenecker, Martin Roetteler|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2003

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用数 86

ひとこと要約

本稿は、有限体およびガロア環上のワイエル型指数和を用いて、$d$ が素数べきのとき $ℂ^d$ における $d+1$ 個の相互に unbiased な基底（MUB）の存在の簡略化された証明を提供する。この研究は、アリトプの素数次元における構成を素数べき次元へ一般化し、非素数べき次元についての下界を確立する。また、このような次元における MUB の最大数に関する未解決問題を強調している。

ABSTRACT

Two orthonormal bases B and B' of a d-dimensional complex inner-product space are called mutually unbiased if and only if |<b>|^2=1/d holds for all b in B and b' in B'. The size of any set containing (pairwise) mutually unbiased bases of C^d cannot exceed d+1. If d is a power of a prime, then extremal sets containing d+1 mutually unbiased bases are known to exist. We give a simplified proof of this fact based on the estimation of exponential sums. We discuss conjectures and open problems concerning the maximal number of mutually unbiased bases for arbitrary dimensions.</b>

研究の動機と目的

• $d$ が素数べきのとき $ℂ^d$ における $d+1$ 個の相互に unbiased な基底の存在の簡略化された証明を提供すること。
• 指数和を用いて、アリトプの素数次元における相互に unbiased な基底の構成を素数べき次元へ一般化すること。
• ガロア環 $ \mathrm{GR}(4,n)$ 上の指数和を用いて、偶数の特性を持つ次元に対しても $d+1$ 個の極大な相互に unbiased な基底の構成をすること。
• 非素数べき次元における相互に unbiased な基底の最大数 $N(d)$ に対する下界を確立すること。
• 非素数べき $d$ のときの $N(d)$ の値に関する未解決問題および予想を提示すること。

提案手法

• 著者たちは、奇数の特性を持つ有限体 $\mathbb{F}_q$ 上のワイエル和を用いて、二次多項式の指数和を推定し、異なる基底からのベクトル間の内積の絶対値が $1/\sqrt{q}$ であることを証明する。
• 奇数の素数べき $q = p^n$（$p \geq 5$）に対して、$b_{\lambda,\alpha} = \frac{1}{\sqrt{q}} \left( \omega_p^{\mathrm{tr}((k+\alpha)^3 + \lambda(k+\alpha))} \right)_{k \in \mathbb{F}_q}$ で定義される系列を用いて $q+1$ 個の相互に unbiased な基底を構成する。
• 異なる基底間の内積において立方項が相殺されることに依存し、残りの二次指数和の絶対値が $\sqrt{q}$ であることが保証され、これにより相互に unbiased であることが保証される。
• 偶数の素数べき $d = 2^n$ の場合、著者たちはガロア環 $\mathrm{GR}(4,n)$ 上の指数和を用いて、$d+1$ 個の相互に unbiased な基底の極大集合を構成する。
• テンソル積を用いて一般次元における下界を導出する：$d = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ に対して $N(d) \geq \min\{N(p_1^{a_1}), \dots, N(p_r^{a_r})\}$ が成り立つ。
• 代数的幾何学の複雑な道具を避けるために、特に二次多項式に対するワイエルの評価を用いた、指標和の初等的推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N(d) = d+1$ は、すべての非素数べき次元 $d$ に対して成り立つか？
• RQ2 非素数べき $d$ のとき、相互に unbiased な基底の数は下から有界に抑えられるか？
• RQ3 すべての整数 $d$ に対して $d \to \infty$ のとき $N(d) \to \infty$ となるか、それとも $N(d)$ が有界のままである次元が存在するか？
• RQ4 $N(6)$ の正確な値は何か？また、ゾーナーの予想に従い $3$ に等しいか？
• RQ5 相互に直交するラテン方陣に関するウィルソンの定理の一般化を、相互に unbiased な基底に対して確立できるか？

主な発見

• 任意の素数べき $d = q$ に対して、本稿では $ℂ^d$ における $d+1$ 個の相互に unbiased な基底を、$ℂ^q$ 上の指数和を用いて構成する。
• この構成は、$p \geq 5$ の素数べき $p^n$ に対してアリトプの系列を一般化し、$q+1$ 個の相互に unbiased な基底をもたらす。
• $d = 2^n$ の場合、著者たちはガロア環 $ \mathrm{GR}(4,n)$ 上の指数和を用いて $d+1$ 個の相互に unbiased な基底を構成する。
• 本稿では、$d = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ に対して $N(d) \geq \min\{N(p_1^{a_1}), \dots, N(p_r^{a_r})\}$ を証明し、任意の次元における下界を提供する。
• 数値的証拠とゾーナーの予想から、$N(6) = 3$ であるとされ、$d+1 = 7$ の上界とは著しく異なる。
• 著者たちは、標準基底と構成された基底 $B_\alpha$ が互いに unbiased であることを示し、$α \neq β$ のとき内積が $|\langle b_{\kappa,\alpha} | b_{\lambda,\beta} \rangle| = 1/\sqrt{q}$ を満たすことを確認している。