[論文レビュー] Constructions of Rank Modulation Codes

Arya Mazumdar, Alexander Barg+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、BCH や Reed-Solomon コードなどのハミング空間における従来のエラー訂正符号を活用し、ケンダール・トウ距離を用いてそれらを順列符号に変換することで、フラッシュメモリおよびインパulseノイズチャネル向けのランク変調符号の新規構成を提示する。主な貢献は、メッセージサイズとエラー訂正能力の間で近似的に最適なトレードオフを達成する符号の族であり、符号化およびデコーディングの計算量はハミング距離の符号と同等の水準に保たれる。

ABSTRACT

Rank modulation is a way of encoding information to correct errors in flash memory devices as well as impulse noise in transmission lines. Modeling rank modulation involves construction of packings of the space of permutations equipped with the Kendall tau distance. We present several general constructions of codes in permutations that cover a broad range of code parameters. In particular, we show a number of ways in which conventional error-correcting codes can be modified to correct errors in the Kendall space. Codes that we construct afford simple encoding and decoding algorithms of essentially the same complexity as required to correct errors in the Hamming metric. For instance, from binary BCH codes we obtain codes correcting $t$ Kendall errors in $n$ memory cells that support the order of $n!/(\log_2n!)^t$ messages, for any constant $t= 1,2,...$ We also construct families of codes that correct a number of errors that grows with $n$ at varying rates, from $Θ(n)$ to $Θ(n^{2})$. One of our constructions gives rise to a family of rank modulation codes for which the trade-off between the number of messages and the number of correctable Kendall errors approaches the optimal scaling rate. Finally, we list a number of possibilities for constructing codes of finite length, and give examples of rank modulation codes with specific parameters.

研究の動機と目的

• フラッシュメモリおよびインパulseノイズチャネルにおけるランク変調の実用的エラー訂正符号の設計。
• ハミング空間の符号とケンダール・トウ距離に基づく順列符号の間のギャップを埋める。
• 高いレートで強力なエラー訂正能力を備えつつ、符号化およびデコーディングの計算量を低く保つ符号の達成。
• メッセージサイズとエラー耐性の間の最適スケーリングに近づく、漸近的および有限長の符号構成の探求。

提案手法

• ハミング距離の性質をケンダール・トウ距離に写像する変換を用いて、二進および$q$-元線形符号（例：BCH、Reed-Solomon、ヘルミート符号）をランク変調フレームワークに適応する。
• ケンダール・トウ距離を順列符号の距離計測基準として用い、これは1つの順列を別の順列に変換するための隣接交換の最小数として定義される。
• 一般化されたグレイ写像および符号構成技術を用いて、線形符号を対称群$S_n$に埋め込む。
• 積符号およびパunction符号（例：ヘルミート曲線から得られるもの）を活用し、パrameterを調整可能な高レートのランク変調符号を生成する。
• 変換の過程でデコーディング構造を保たれるようにすることで、符号化およびデコーディングの計算量が元のハミング空間符号と同等に保たれるようにする。
• $S_n$の群構造と隣接交換を生成元とするカイリー距離を用いて、誤りモデルを形式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミング空間における既存の線形エラー訂正符号を、ケンダール・トウ距離を用いた順列符号に体系的に変換する方法は何か？
• RQ2 ランク変調符号における符号レートと最小ケンダール距離の間で達成可能なトレードオフは何か？理論的最適値にどれほど近づけるか？
• RQ3 代数的符号（例：Reed-Solomon、ヘリミート）に基づく構成は、二進BCH符号に基づくものよりも優れた有限長ランク変調符号を生み出せるか？
• RQ4 ハミング空間符号のデコーディング計算量は、結果として得られるランク変調符号においてどの程度保たれるか？
• RQ5 誤り数が$n$に従って増加する場合、ランク変調符号の漸近的スケーリング特性はいかなるものか？

主な発見

• 長さ$n' = 63, 255$の二進BCH符号を用いて、$(64, 36, 13)$および$(256, 215, 13)$といったパラメータのランク変調符号を構築し、$t$個のケンダール誤りに対して$n!/( ext{log}_2 n!)^t$個のメッセージをサポートする。
• $\mathbb{F}_{16}$上での積Reed-Solomon符号を用いて、パラメータ$(n=255, \log M=108, d \geq 107)$の符号を構築し、少なくとも53個の誤りを訂正可能である。
• $\mathbb{F}_{256}$上でのパunction済みヘルミート符号を用いて、長さ$n=4845$のランク変調符号を構築し、$(n, 7208, 6119)$のようなパラメータを得て、最大3059個の誤りを訂正可能である。
• 本手法により、メッセージサイズとエラー耐性の間のトレードオフが、特に大きな$n$に対して最適スケーリングレートに近づく。
• 得られたランク変調符号のデコーディング計算量は、元のハミング空間符号と本質的に同一であり、実装が可能である。
• 構成法は柔軟であり、LDPCや極性符号を含む多数の既存の符号に適用可能であり、古典的線形符号にとどまらず広範な応用可能性を示唆する。