[論文レビュー] Constructions of small symplectic 4-manifolds using Luttinger surgery

Scott Baldridge, Paul Kirk|ArXiv.org|Mar 2, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ルッティンジャー手術を用いて、アーベル基本群（有限、無限巡回、自由アーベル群を含む）を備えた、最小の既知の例である、オイラー標跡6、符号数−2をもつ、小規模で最小のシンプレクティック4次元多様体を構成する。同定された構築ブロック（$ℂ\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ や $3\mathbb{CP}^2\#5\overline{\mathbb{CP}}^2$ とホモトピー同値だが微分同相でない多様体）は、4次元多様体構成における $E(1)$ の代替として利用可能である。

ABSTRACT

In this article we use the technique of Luttinger surgery to produce small examples of simply connected and non-simply connected minimal symplectic 4-manifolds. In particular, we construct: (1) An example of a minimal symplectic 4-manifold that is homeomorphic but not diffeomorphic to CP^2#3(-CP^2) which contains a symplectic surface of genus 2, trivial normal bundle, and simply connected complement and a disjoint nullhomologous Lagrangian torus with the fundamental group of the complement generated by one of the loops on the torus. (2) A minimal symplectic 4-manifold that is homeomorphic but not diffeomorphic to 3CP^2#5(-CP^2) which has two essential Lagrangian tori with simply connected complement. These manifolds can be used to replace E(1) in many known theorems and constructions. Examples in this article include the smallest known minimal symplectic manifolds with abelian fundamental groups including symplectic manifolds with finite and infinite cyclic fundamental group and Euler characteristic 6.

研究の動機と目的

• 与えられたアーベル基本群をもつ最小のシンプレクティック4次元多様体を、小さなオイラー標跡と制御された基本群をもって構成すること。
• 4次元多様体構成における手術や直和演算に適した、$E(1)$ の小規模で異種の置き換えを提供すること。
• 特定の基本群（例：$\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/p \oplus \mathbb{Z}/q \oplus \mathbb{Z}/r$、自由群）と所望の位相的不変量をもつシンプレクティック多様体を生成すること。
• 与えられたアーベル基本群に対して、シンプレクティック多様体の最小オイラー標跡が2次関数的に増加することを示し、生成数 $n$ に対して主要項 $\frac{1}{2}n^2$ をもつこと。
• $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ とホモトピー同値だが微分同相でない、無限個のペアワイズに微分同相でないシンプレクティック4次元多様体の族の存在を確立すること。

提案手法

• ラグランジュ環面に沿ったデーンねじりを施すことで、シンプレクティック4次元多様体をルッティンジャー手術により変形し、基本群を変更しながらもシンプレクティック構造を保存する。
• 特に、ラグランジュ環面上のループがシンプレクティック和の過程でどのように消去されるかを追跡するために、シーファート＝ヴァン・カンペンの定理を用いて基本群を計算する。
• Gompfのシンプレクティック和構成法を用いて、$X_1$、$B$、$X$ などの構築ブロックを $\mathrm{Sym}^2(F_g)$ のようなケーラー多様体に接合し、所望の基本群を達成する。
• 手術後にホモトピー型が保たれることを保証するためにフリードマンの定理を用い、一方でシブーツェル＝ワインバーグ理論を用いて微分同相型を区別する。
• $\mathrm{Sym}^2(F_g)$ 上のシンプレクティック形式を摂動し、ラグランジュ環面がシンプレクティックかつ互いに交わらないようにし、制御されたシンプレクティック和を可能にする。
• 定理23を適用して、$X_1$ とのシンプレクティック和が、$\pi_1$ の特定の要素（例：$x_4 a_4^{d_1}$）を消去することを示し、目的の基本群を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられたアーベル基本群をもつ最小のシンプレクティック4次元多様体の最小オイラー標跡は何か？
• RQ2 ルッティンジャー手術により、オイラー標跡6、有限、無限巡回、または自由アーベル基本群をもつ、小規模なシンプレクティック4次元多様体を構成できるか？
• RQ3 小規模なオイラー標跡と制御された基本群をもつ、異種（ホモトピー同値だが微分同相でない）シンプレクティック4次元多様体を構成できるか？
• RQ4 標準的な4次元多様体構成において、楕円的表面 $E(1)$ をより小さなシンプレクティック4次元多様体に置き換えられるか？
• RQ5 $n$ 個の生成元をもつアーベル基本群をもつシンプレクティック4次元多様体の最小オイラー標跡の漸近的増加率は何か？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ とホモトピー同値だが微分同相でない、最小のシンプレクティック4次元多様体を構成した。この多様体にはシンプレクティックな genus 2 曲面と、その補集合の基本群が環面上の1つのループによって生成される、同相的ゼロホモロジックなラグランジュ環面が存在する。
• 本稿は、$3\mathbb{CP}^2\#5\overline{\mathbb{CP}}^2$ とホモトピー同値だが微分同相でない、最小のシンプレクティック4次元多様体を構成した。この多様体には、単連結な補集合と自明な正規束を持つ2つの本質的ラグランジュ環面が存在する。
• オイラー標跡 $e(X_1) = 6$、符号数 $\sigma(X_1) = -2$、基本群 $\pi_1(X_1) \cong \mathbb{Z}$ をもつ最小のシンプレクティック多様体 $X_1$ を構成した。この多様体には、自明な正規束をもつシンプレクティック環面 $T$ が存在し、包含写像 $X_1 - T \to X_1$ が $\pi_1$ で同型を誘導するが、$T \to X_1$ の包含写像は $\pi_1(T)$ の1つの生成元を消去する。
• 任意の有限生成アーベル群 $G$ について、$n$ 個の生成元をもつ場合、$e(N_G) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{19}{2}n + 36$ および $\sigma(N_G) = -\frac{5}{2}n - 8$ を満たすシンプレクティック4次元多様体 $N_G$ が存在し、最小オイラー標跡が $n$ に対して2次関数的に増加することを示した。
• $\mathbb{CP}^2\#3\overline{\mathbb{CP}}^2$ とホモトピー同値だが微分同相でない、無限個のペアワイズに微分同相でないシンプレクティック4次元多様体の族を、同相的ゼロホモロジックなラグランジュ環面と[11]の方法を用いて構成した。
• 任意の非負整数 $n$ に対して、ランク $n$ の自由群を基本群とし、$e = 10$、$\sigma = -2$ を満たすシンプレクティック4次元多様体が存在することを示し、自由基本群をもつ小規模な異種多様体の存在を示した。