[論文レビュー] Constructions of Strongly Regular Cayley Graphs and Skew Hadamard Difference Sets from Cyclotomic Classes

Tao Feng, Koji Momihara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有限体における円分類を用い、従来の円分数の代わりにインデックス2のガウス和を用いることで、強い正則なカイリー線グラフおよびねじれハダマード差集合の新たな構成法を提示する。これにより、パラメータが新しい3つの無限族の強い正則グラフが得られ、有限体の加法群におけるねじれハダマード差集合の新たな族が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we give a construction of strongly regular Cayley graphs and a construction of skew Hadamard difference sets. Both constructions are based on choosing cyclotomic classes in finite fields, and they generalize the constructions given by Feng and Xiang \cite{FX111,FX113}. Three infinite families of strongly regular graphs with new parameters are obtained. The main tools that we employed are index 2 Gauss sums, instead of cyclotomic numbers.

研究の動機と目的

• 円分類に基づく、従来の強い正則なカイリー線グラフおよびねじれハダマード差集合の構成法の一般化を図ること。
• 高次の円分数の計算に起因する制限を克服するため、従来の円分数の代わりにインデックス2のガウス和を用いること。
• これまでに知られていなかったパラメータを持つ、強い正則グラフの新しい無限族の確立。
• 奇素数の特徴を持つ有限体において、ねじれハダマード差集合の新たな族の生成。
• 特に原始的ケースにおいて、アモーフィックな関係スキームに関するイワノフの予想に対する反例の提供。

提案手法

• 有限体 $ \bbF_q $（$ q = p^f $、$ p $ を奇素数とする）における $ N = 2p_1^m $ 階の円分類を用いる。
• パラメータ評価の主な道具として、従来用いられてきた円分数の代わりにインデックス2のガウス和を採用する。
• ガウス和の値および指標和の条件を用いて、円分類の和集合が部分差集合をなす条件を特定する。
• 円分類の和集合が強い正則なカイリー線グラフまたはねじれハダマード差集合を生成するための必要十分条件を導出する。
• 得られたグラフから関係スキームを構成し、融合操作が強い正則性を保つこと、非アモーフィックなスキームを生成することを示す。
• 代数的数論を用いて $ \bbQ(\sqrt{-p_1}) $ 上でのガウス和の振る舞いを分析し、特定の状況ではパラメータが $ m $ に依存しないことを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックス2のガウス和を用いることで、円分数に比べて、より効果的に新しい強い正則なカイリー線グラフおよびねじれハダマード差集合を構成できるか？
• RQ2 円分類の和集合が部分差集合をなすためのガウス和の値に関する必要十分条件は何か？
• RQ3 新しい構成法により、これまでに知られていなかったパラメータを持つ強い正則グラフの無限族が得られるか？
• RQ4 構成法により、奇素数の特徴を持つ有限体において、新たなねじれハダマード差集合が生成可能か？
• RQ5 得られた関係スキームは、アモーフィック関係スキームに関するイワノフの予想の反例を提供するか？

主な発見

• パラメータ $ (v,k,\lambda,\mu) $ を持つ、3つの新しい強い正則グラフの無限族が構成され、特に $ v = 5^{9 \cdot 19^{m-1}} $、$ k = 5^{9 \cdot 19^{m-1} - 1} \cdot (5^{9 \cdot 19^{m-1}} - 1)/2 $、$ \lambda, \mu $ はガウス和の条件から導出される。
• $ q = 3^{53 \cdot 107^{m-1}} $ における $ (\bbF_q, +) $ に、$ b = 1 $、$ h = 3 $、$ N = 2 \cdot 107^m $ を満たす新たなねじれハダマード差集合の族が構成された。
• 構成法により、すべての非自明な関係が強い正則グラフである、無限族の擬円型で非アモーフィックな関係スキームが得られた。
• 結果は、フェンとシャングの先行研究 [10, 12] を一般化し、インデックス2のガウス和を用いることで、新たなパラメータ集合への拡張を実現した。
• この方法により、原始的ケースにおいてイワノフの予想に対する反例が得られ、非アモーフィックな関係スキームの新たな無限系列が得られた。
• ガウス和の合同性が $ p_1 $ を法として不変であるため、特定の状況ではパラメータ条件が $ m $ に依存せず、一様なパラメータ族が得られる。