[論文レビュー] Constructions with bundle gerbes

Stuart Johnson|ArXiv.org|Dec 9, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用数 31

ひとこと要約

本学位論文は、Deligneコhomロジー $ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ の類の幾何的実現としてのバンドルゲーブルの理論を展開し、接続、曲率、ホロノミー、およびトランスグレッションの構成を導入する。高次バンドルゲーブルの階層を確立し、トポロジカル量子場理論やWess-Zumino-Witten理論・Chern-Simons理論などの物理的作用に応用を示す。

ABSTRACT

This thesis develops the theory of bundle gerbes and examines a number of useful constructions in this theory. These allow us to gain a greater insight into the structure of bundle gerbes and related objects. Furthermore they naturally lead to some interesting applications in physics.

研究の動機と目的

• シーブ理論的構成を避けて、$ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ の類の幾何的モデルとしてバンドルゲーブルの包括的理論を構築すること。
• 線束からバンドルゲーブルおよび高次バンドルゲーブルへのホロノミーと平行移動の一般化を図り、高次元的対象への平行移動を拡張すること。
• 理論物理学におけるバンドルゲーブルの幾何的および位相的意味を検討し、特にWess-Zumino-Witten理論およびChern-Simons理論への応用を明らかにすること。
• バンドル2-ゲーブルや $ U(1) $-グループイドといった高次幾何的構造の階層を確立し、高次元量子場理論への枠組みの拡張を図ること。
• バンドルゲーブルのファイバーをモジュールとして用いることで、公理的トポロジカル量子場理論の幾何的実現を提供し、ベクトル空間の代わりにグループイドを用いること。

提案手法

• バンドルゲーブルを、$ Y^{[2]} $（ファイバー積）への $ U(1) $-バンドル $ P \to Y^{[2]} $ を備えた準微分写像 $ \pi: Y \to M $ として構成し、結合的積構造を備える。
• バンドルゲーブル接続および曲率を導入し、ハイパーセミコホモロジー複体 $ \underline{U(1)}_M \to \Omega^1(M) \to \Omega^2(M) $ を通じて、Deligneコホモロジー $ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ の類を定義する。
• バンドルゲーブルのホロノミーを、$ M $ 内の閉じた曲面への $ U(1) $-値割り当てとして定義し、$ U(1) $-バンドルのホロノミーを2形式へ一般化する。
• バンドルゲーブルおよびバンドル2-ゲーブルのトランスグレッション公式を構築し、ループ空間上のホロノミーとトランスグレッションバンドル上の接続を結びつける。
• 物理的理論への応用として、Wess-Zumino-Witten作用がバンドルゲーブルのホロノミーから自然に導かれることを示す。
• TQFTの公理を拡張し、ベクトル空間の代わりにバンドルゲーブルのファイバーから得られる $ U(1) $-グループイドを用い、これらのグループイドの自明化を物理的状態として扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シーブ理論を用いずに、$ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ の類の系統的構成としてバンドルゲーブルをどのように幾何的実現できるか？
• RQ2 線束からバンドルゲーブルおよびバンドル2-ゲーブルへのホロノミーと平行移動の一般化はどのようなものか？
• RQ3 バンドルゲーブルのトランスグレッション公式は、物理学におけるWess-Zumino-Witten理論およびChern-Simons作用とどのように関係するか？
• RQ4 バンドルゲーブルのファイバーから得られる $ U(1) $-グループイドを用いて、トポロジカル量子場理論の公理を一般化できるか？
• RQ5 バンドルゲーブルの階層は、グループイド値モジュールを備えた高次元量子場理論を構築する上で果たす役割は何か？

主な発見

• バンドルゲーブルは、ゲーブル理論で用いられるシーブ理論的構成を避けて、$ H^3(M, \mathbb{Z}(3)_D) $ の純粋なバンドル理論的実現を提供する。
• バンドルゲーブルのホロノミーは、基底多様体内のすべての閉じた曲面に $ U(1) $-位相を割り当てる。これは、$ U(1) $-バンドルのホロノミーを2形式へ一般化する。
• バンドルゲーブルをループ空間にトランスグレッションすると、ループ空間上のバンドルに接続が得られ、そのホロノミーは元のゲーブルホロノミーを回復する。
• Wess-Zumino-Witten作用は、3-多様体上に接続と曲率を備えたバンドルゲーブルのホロノミーとして幾何的に実現される。
• Chern-Simons作用は、バンドル2-ゲーブルとその曲率を含む高次ホロノミー構成から導かれることが示された。
• この枠組みは、$ Z(\Sigma) $ が $ U(1) $-グループイドであり、物理的状態がこれらのグループイドの自明化であるような、トポロジカル量子場理論の一般化を支持する。