[論文レビュー] Constructive Algorithms for Discrepancy Minimization

Nikhil Bansal|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Mathematical Approximation and Integration参考文献 9被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、エントロピー法を用いて存在的結果と一致する境界を達成する、初めての多項式時間の確率的アルゴリズムを提示する。要素の色を半定値計画法（SDP）によって誘導されるランダムウォークとしてモデル化することで、m ≥ n の場合に O(n^{1/2} log(2m/n)) の不均衡を達成し、有界次数の集合系では O(t^{1/2} log n)、遺伝的不均衡では O(λ log(nm)) を達成する。これにより、不均衡理論における長年のアルゴリズム的ギャップが解消される。

ABSTRACT

Given a set system (V,S), V={1,...,n} and S={S1,...,Sm}, the minimum discrepancy problem is to find a 2-coloring of V, such that each set is colored as evenly as possible. In this paper we give the first polynomial time algorithms for discrepancy minimization that achieve bounds similar to those known existentially using the so-called Entropy Method. We also give a first approximation-like result for discrepancy. The main idea in our algorithms is to produce a coloring over time by letting the color of the elements perform a random walk (with tiny increments) starting from 0 until they reach $-1$ or $+1$. At each time step the random hops for various elements are correlated using the solution to a semidefinite program, where this program is determined by the current state and the entropy method.

研究の動機と目的

• 非構成的であるが存在的境界と一致する構成的アルゴリズムを提供することで、不均衡最小化におけるアルゴリズム的ギャップを埋めること。
• スペンサーアイテム「六標準偏差で十分である」結果がアルゴリズム的に達成可能かどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 有界次数の集合系および遺伝的不均衡に対して、既知の存在的境界と一致する構成的保証を拡張すること。
• 不均衡最小化のための、SDP誘導型ランダムウォークに基づく新しい確率的アルゴリズムフレームワークを開発すること。
• 不均衡に対して、ランダムカラーリングの改善版として、初めての多項式時間の近似的結果を提供すること。

提案手法

• 要素の色を、0から出発する連続的ランダムウォークとしてモデル化し、段階的に -1 または +1 に近づける。
• 各時刻において、現在の状態とエントロピーに基づく制約を考慮して、ランダムウォークの増分を半定値計画法（SDP）で相関づける。
• エントロピー法を用いてSDPの解を誘導し、いかなる集合が不均衡の閾値を超える確率を最小化する。
• 不均衡の閾値に基づいて「危険な」集合を定義し、集中不等式を用いてその数を制御する。
• マルコフ不等式およびチェルノフ型不等式を用いて、ランダムウォーク中に非常に危険な集合が多すぎることの確率を上界付ける。
• SDPの解を確率的アルゴリズムに統合し、妥当性を維持するとともに、高確率で低不均衡を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m ≥ n の場合に、スペンサーの O(n^{1/2} log(2m/n)) の不均衡境界がアルゴリズム的に達成可能か？
• RQ2 有界次数の集合系に対して、スリニヴァサナンの存在的結果と一致する O(t^{1/2} log n) の不均衡を達成する構成的アルゴリズムはあるか？
• RQ3 遺伝的不均衡 λ は、効率的なアルゴリズムを用いて対数因子の範囲内で構成的に近似可能か？
• RQ4 エントロピー法は、SDP誘導型ランダムウォークフレームワークを用いてアルゴリズム化可能か？
• RQ5 一般の集合系において、多項式時間で達成可能な最良の不均衡は何か？ そして、それは存在的境界と一致可能か？

主な発見

• 確率的に少なくとも 1/log m の確率で、m ≥ n の場合に O(n^{1/2} log(2m/n)) の不均衡を達成し、スペンサーの存在的境界と対数要因の範囲で一致する。
• 各要素が高々 t 個の集合に属する集合系では、確率的に少なくとも 1/n の確率で O(t^{1/2} log n) の不均衡を達成し、スリニヴァサナンの存在的結果と一致する。
• 遺伝的不均衡 λ に対して、O(λ log(nm)) の不均衡を持つカラーリングを生成する。これは、対数因子の範囲内で構成的近似を提供する。
• 生存変数の数が a/2 よりも高い間は、定数確率（1/2）でアルゴリズムが成功し、ランダムウォーク全体で妥当性が保たれる。
• 高不均衡集合の確率を上界付けるために、SDP、エントロピーに基づく制約、集中不等式の新しい組み合わせを分析で用いる。
• 本フレームワークは、エントロピー法を完全にアルゴリズム化する最初のものであり、不均衡理論における長年の未解決問題を解決する。