[論文レビュー] Constructive Analysis in Infinitely many variables

Tepper L. Gill, Gogi Pantsulaia+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、フォン・ノイマンの無限テンソル積ヒルベルト空間フレームワークを用いて、$\mathbb{R}^\infty$ 上に一意的で $σ$-有限なルベーグ測度 $\lambda_\infty$ を構成し、$L^2$-理論、フーリエ変換、および非有界作用素の定義を可能にする。可分なバナッハ空間にシュャウダー基底を備える場合の、ルベーグ測度およびガウス測度の構成的無限次元アナログを確立し、ヤングの不等式を拡張し、無限個の変数における偏微分作用素を可能にする。

ABSTRACT

In this paper we investigate the foundations for analysis in infinitely-many (independent) variables. We give a topological approach to the construction of the regular $\s$-finite Kirtadze-Pantsulaia measure on $\R^\iy$ (the usual completion of the Yamasaki-Kharazishvili measure), which is an infinite dimensional version of the classical method of constructing Lebesgue measure on $\R^n$ (see \cite{YA1}, \cite{KH} and \cite{KP2}). First we show that von Neumann's theory of infinite tensor product Hilbert spaces already implies that a natural version of Lebesgue measure must exist on $\R^{\iy}$. Using this insight, we define the canonical version of $L^2[\R^{\iy}, \la_{\iy}]$, which allows us to construct Lebesgue measure on $\R^{\iy}$ and analogues of Lebesgue and Gaussian measure for every separable Banach space with a Schauder basis. When $\mcH$ is a Hilbert space and $\la_{\mcH}$ is Lebesgue measure restricted to $\mcH$, we define sums and products of unbounded operators and the Gaussian density for $L^2[\mcH, \la_{\mcH}]$. We show that the Fourier transform induces two different versions of the Pontryagin duality theory. An interesting new result is that the character group changes on infinite dimensional spaces when the Fourier transform is treated as an operator. Since our construction provides a complete $\s$-finite measure space, the abstract version of Fubini's theorem allows us to extend Young's inequality to every separable Banach space with a Schauder basis. We also give constructive examples of partial differential operators in infinitely many variables and briefly discuss the famous partial differential equation derived by Phillip Duncan Thompson \cite{PDT}, on infinite-dimensional phase space to represent an ensemble of randomly forced two-dimensional viscous flows.

研究の動機と目的

• 標準的なボレル測度が開集合に対して有限測度を持たないため、$\mathbb{R}^\infty$ 上に意味のあるルベーグ測度を構成するという基礎的問題を解決すること。
• フーリエ変換や微分作用素といった解析的ツールをサポートする、$\mathbb{R}^\infty$ 上の構成的 $σ$-有限測度空間を提供すること。
• 古典的解析的ツール（ルベーグ測度、ガウス測度、フーリエ変換、ヤングの不等式）を、シュャウダー基底を備える可分なバナッハ空間へと拡張すること。
• 構成された測度空間を用いて、無限個の変数における非有界作用素および偏微分方程式を定義・解析すること。
• 無限次元におけるポントリャーギン双対性の役割を明確にし、フーリエ変換の下で特性群が変化することを示すこと。

提案手法

• フォン・ノイマンの無限テンソル積ヒルベルト空間理論を用いて、$L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ の一意的バージョンを導出し、明確な測度空間を保証する。
• キルタドゼ・パンツゥラヤ測度をヤマサキ＝カルアジシュヴィリ測度の完備化として構成し、$\mathbb{R}^\infty$ 上に $σ$-有限なボレル測度を確立する。
• 強作用素収束および閉拡張を用いて、$L^2[\mathcal{H}, \lambda_\mathcal{H}]$ 上の非有界作用素の和と積を定義する。
• 抽象的フビニの定理を適用して、すべてのシュャウダー基底を備える可分なバナッハ空間へとヤングの不等式を拡張する。
• $L^1[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ および $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 上にフーリエ変換を導入し、無限次元における2種類の異なるポントリャーギン双対性のバージョンを明らかにする。
• 無限個の変数における偏微分作用素の明示的例を構成し、無限次元ラプラシアンおよびオルンシュタイン＝ウーレンベック型作用素を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的で $σ$-有限なルベーグ測度が、標準的ボレル測度の失敗にもかかわらず $\mathbb{R}^\infty$ 上に構成可能か？
• RQ2 明確な測度を備えた無限次元空間におけるフーリエ解析およびポントリャーギン双対性をどのように拡張できるか？
• RQ3 非有界作用素は無限次元 $L^2$-空間において果たす役割は何か？ その和と積はどのように意味的に定義できるか？
• RQ4 ヤングの不等式のような古典的不等式は、シュャウダー基底を備える無限次元バナッハ空間へと拡張可能か？
• RQ5 無限個の変数における偏微分作用素はどのように振る舞うか？ また、ランダムに駆動される流体の流れのような物理系をモデル化できるか？

主な発見

• ヒルベルト空間の無限テンソル積構造を用いて、$\mathbb{R}^\infty$ 上に一意的で $σ$-有限なルベーグ測度 $\lambda_\infty$ が存在する。
• $L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 上のフーリエ変換は、無限次元における2種類の異なるポントリャーギン双対性のバージョンを誘導し、特性群が無限次元で変化することが明らかになった。
• 抽象的フビニの定理を用いて、構成された測度空間上で、すべてのシュャウダー基底を備える可分なバナッハ空間へとヤングの不等式が拡張された。
• 無限次元ラプラシアン $\Delta_\infty = \sum_{i=1}^\infty \partial^2 / \partial x_i^2$ は、$L^2[\mathbb{R}^\infty, \lambda_\infty]$ 上の閉作用素かつ定義密度が稠密な作用素として適切に定義される。
• ランダムに駆動される2次元粘性流れのためのトンプソン方程式が、この枠組みにおいて数学的に整合的であることが示され、平衡密度 $\rho_0(\mathbf{x}) = C \exp(-\frac{1}{2}\nu \sum_k \alpha_k^2 x_k^2)$ が適切に定義される。
• この構成は非有界作用素の自然な設定を提供し、$g_n \to g$ が $L^2$ で成り立つ限り、$\Delta_\infty g_n \to \Delta_\infty g$ が成り立つ。