[論文レビュー] Constructive aspects of Riemann's permutation theorem for series

Josef Berger, Douglas Bridges+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ビショップ風の構成的数学（BISH）における級数のリーマンの置換定理の構成的版を検討する。弱可換収束の概念を導入し、BISHにおいて、すべての弱可換収束級数の絶対収束が石原の原理BD-ℕを示すこと、および可換収束が絶対収束を示すのはBD-ℕを仮定したときのみであることを証明する。主な貢献は、弱可換収束級数の絶対収束とBD-ℕとの間の構成的同値性を確立し、構成的枠組みにおいて弱可換収束が可換収束よりも厳密に弱いかどうかを示すことである。

ABSTRACT

The notions of permutable and weak-permutable convergence of a series $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}$ of real numbers are introduced. Classically, these two notions are equivalent, and, by Riemann's two main theorems on the convergence of series, a convergent series is permutably convergent if and only if it is absolutely convergent. Working within Bishop-style constructive mathematics, we prove that Ishihara's principle \BDN implies that every permutably convergent series is absolutely convergent. Since there are models of constructive mathematics in which the Riemann permutation theorem for series holds but \BDN does not, the best we can hope for as a partial converse to our first theorem is that the absolute convergence of series with a permutability property classically equivalent to that of Riemann implies \BDN. We show that this is the case when the property is weak-permutable convergence.

研究の動機と目的

• ビショップ風の構成的数学（BISH）における級数のリーマンの置換定理の構成的論理的強さを検討すること。
• 可換収束の構成的代替としての弱可換収束の概念を導入し、分析すること。
• 弱可換収束級数の絶対収束が石原の原理BD-ℕを示すかどうかを特定すること。
• 構成的解析における可換収束、弱可換収束、絶対収束、およびBD-ℕの間の論理的関係を明確にすること。

提案手法

• 級数の括弧付けを、厳密に増加する関数fとブロック和b_k = ∑_{i=f(k)}^{f(k+1)-1} a_iによって定義する。
• 弱可換収束を、元の級数の収束およびすべての級数の置換に対して収束する括弧付けの存在として定義する。
• 背理法を用いて、級数が弱可換収束的であり、ある置換によって異なる和に収束するならば、発散する部分級数を構成できることを示す。
• 有界でない可算な擬似有界集合S ⊆ ℕから、非負の有理数列(a_n)を、収束性と部分和の制御を保証する性質を用いて構成する。
• このような級数∑a_nが弱可換収束的であるならば、Sは有界でなければならない。これはBD-ℕを示すことになる。
• Diener-Lubarskyモデルを用いて、逆方向の含意が成り立たないことを示し、原則の間の論理的分離を明確にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BISHにおいて、すべての可換収束級数の絶対収束が石原の原理BD-ℕを示すか？
• RQ2 弱可換収束は構成的に可換収束と同値か、それとも厳密に弱いか？
• RQ3 構成的枠組みにおいて、弱可換収束級数の絶対収束がBD-ℕを示せるか？
• RQ4 構成的解析において、弱可換収束の論理的強さはBD-ℕおよび絶対収束に対してどうか？
• RQ5 BD-ℕを避ける構成的証明がリーマンの置換定理に存在するか、それともこのような結果を得るにはBD-ℕが必要か？

主な発見

• BISHにBD-ℕを追加すると、すべての可換収束級数が絶対収束する。
• すべての弱可換収束級数の絶対収束がBD-ℕを示すことは、この収束性とBD-ℕとの間の構成的同値性を確立する。
• 構成的数学において、弱可換収束は可換収束よりも厳密に弱い。これは、弱可換収束が成り立つがBD-ℕが成り立たないモデルによって示される。
• 有界でない可算な非空な部分集合S ⊆ ℕに対して、関連する弱可換収束級数が可換収束的であるかどうかを示すアルゴリズムは存在しない。
• 古典的には可換収束と弱可換収束が同値であるが、構成的にはその同値性は成り立たない。前者はBD-ℕを含意するが、後者は含意しない。
• Diener-Lubarskyモデルにより、弱可換収束級数の絶対収束からBD-ℕへの含意は逆転できないことが示され、原則の論理的独立性が確認された。