[論文レビュー] Constructive Coordinatization of Desarguesian Planes

Mark Mandelkern|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2024

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本論文は Desarguesian plane の座標化を Bishop の意味で構成的に展開し、公理を強化し、単一の原始概念を用いて division-ring の座標化を導出する。

ABSTRACT

A classical theory of Desarguesian geometry, originating with D. Hilbert in his 1899 treatise, Grundlagen der Geometrie, leads from axioms to the construction of a division ring from which coordinates may be assigned to points, and equations to lines; this theory is highly nonconstructive. The present paper develops this coordinatization theory constructively, in accordance with the principles introduced by Errett Bishop in his 1967 book, Foundations of Constructive Analysis. The traditional geometric axioms are adopted, together with two supplementary axioms which are constructively stronger versions of portions of the usual axioms. Stronger definitions, with enhanced constructive meaning, are also selected; these are based on a single primitive notion, and are classically equivalent to the traditional definitions. Brouwerian counterexamples are included; these point out specific nonconstructivities in the classical theory, and the consequent need for strengthened definitions and results in a constructive theory. All the major results of the classical theory are established, in their original form, revealing their hidden constructive content.

研究の動機と目的

• 構成的手法を用いて Desarguesian 平面の古典的な座標化を再構築する。
• Bishop の構成的フレームワークと distinct points の単一原始概念を採用する。
• 定義を強化し、古典理論の非構成的な部分を置換する有限手続きを提供する。
• Desargues の定理と Pappus の定理が対称性および可換性の性質と構成的にどのように関連するかを示す。

提案手法

• 点が異なるという単一の原始概念と「点が直線の外にある」という構成的主関係で幾何学を定義する。
• G、L、K の三つの公理群を採用し、L が非平行な直線の構成的な処理を提供する。
• G、L、K の三つの公理群を採用し、L が非平行な直線の構成的な処理を提供する。
• Desargues の定理を対称性公理と同値であること、Pappus の定理を座標化された division ring の可換性と同値であることを証明する。
• 翻訳群の準同型から座標化を構築し、非零準同型の単射性を確立する。
• 実数平面 R^2 が公理を満たす構成的モデルであることを示し、公理強化を動機づける Brouwer 式の反例について論じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的な結果を保持しつつ、Desarguesian 平面の座標化を構成的に達成するにはどうすればよいか？
• RQ2 翻訳と膨張変換から division-ring 座標化を導くのに十分な構成的公理系は何か？
• RQ3 Desargues の定理、対称性公理、および Pappus の定理の構成的な関係は何か？
• RQ4 標準モデルである実数平面 R^2 は強化された構成的公理を満たすことができるか、そして Brouwerian 反例とは何か？
• RQ5 この幾何学的設定において Heyting 式のアプローチは Bishop 式の構成的フレームワークとどのように比較されるか？

主な発見

• Desarguesian 幾何学の主要な古典的結果は、元の形のまま、強化された構成的意味で確立されている。
• 構成的フレームワークは、非平行な直線の強い概念と“点が直線の外部にある”という主関係に焦点を当てる。
• Desargues の定理は対称性公理と同値であること、Pappus の定理は得られた division ring の可換性と同値であることを示す。
• 膨張変換とその拡張および逆変換が構成的に展開され、翻訳群準同型による座標化を可能にする。
• 実数平面 R^2 は構成的公理の下で Desarguesian 平面であることが示され、古典理論の非構成性を示す Brouwerian 反例が示される。